Question

Los extremos de uno de los diámetros de una circunferencia son los puntos A(-1,-3) y B(1,1).
¿Cuál es la ecuación ordinaria de la circunferencia?

Answer 1

Respuesta:

La ecuación es:  $x^{2}+(y+1)^{2}=5$

Explicación paso a paso:

Necesitamos encontrar 2 datos: Uno, las coordenadas del centro de la circunferencia. Dos, el radio de la circunferencia.

Encontremos las coordenadas del centro. Para eso tomamos los puntos extremos que nos da  el ejercicio y aplicamos la fórmula $\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ $\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$

Denominemos cuáles son x & cuáles son y    

(Uso este signo & como conjunción, para diferenciar de y como yé)

Punto A: $x_{1}=-1;y_{1}=-3$

Punto B: $x_{2}=1;y_{2}=1$

Ahora reemplacemos en las fórmulas:

$\frac{-1+1}{2}=\frac{0}{2}=0$

$\frac{-3+1}{2}=-1$

Las coordenadas del punto centro C de la circunferencia son $(0,-1)$

Ahora necesitamos encontrar el radio, es decir la distancia que hay entre el centro y cualquiera de los puntos extremos que nos da el ejercicio.

Apliquemos la fórmula que dice:

$d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

Como se trata de la distancia entre el centro C y un extremo, tenemos que definir nuevamente quién es x & quién es y, para evitar confusiones.

C: $x_{1}=0$  & $y_{1}=-1$

A: $x_{2}=-1$ & $y_{2}=-3$

Ahora, reemplazamos en la fórmula:

$d=\sqrt{(-1-0)^{2}+(-3-(-1))^{2}}}$

Operamos y tenemos que:

$d=\sqrt{5}$

O sea que esa distancia es el radio.

Ahora sí, podemos usar la ecuación canónica u ordinaria de la circunferencia:

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

en donde: h, es 0, o sea la coordenada x del centro; k es -1 o sea la coordenada y del centro; y r es $\sqrt{5}$ o sea el radio.

Reemplacemos:

$(x-0)^{2}+(y-(-1))^{2}=(\sqrt{5})^{2}$

La ecuación ordinaria queda:

$x^{2}+(y+1)^{2}=5$  Esta es la respuesta

Mira la imagen adjunta. En ella encuentras la gráfica, con la ecuación y las coordenadas de los puntos, del centro y de los extremos.