Question

los extremos de diametro de una circunferencia son los puntos A(-2,-4) B(1,2) determinar la ecuacion de la curva en su forma general

Answer 1

La ecuación canónica de la circunferencia tiene la siguiente forma.

(x-h)²+(y-k)²=r²

donde

Centro=C=(h,k)
Radio=r=√r²

Entonces para poder encontrar la ecuación general de la circunferencia lo que debemos hacer es encontrar todos los elementos de la ecuación canónica.

Descripción paso a paso:

1) Nos dan dos puntos extremos de un diámetro de la circunferencia, entonces para poder encontrar el radio lo que debemos hacer es encontrar la distancia entre los dos puntos y dividir esa distancia entre dos para así tener el valor del radio.

A=(-2,-4)=(x1,y1)
B=(1,2)=(x2,y2)

$d = \sqrt{ {(y2 - y1)}^{2} + {(x2 - x1)}^{2} }$
$d = \sqrt{ {(2- ( - 4))}^{2} + {(1-( - 2 ))}^{2} }$
$d = \sqrt{ {(6)}^{2} + {(3)}^{2} }$
$d = \sqrt{ 45 }$
$d = \sqrt{5 \times 3 \times 3}$
$d = 3 \sqrt{5}$
El radio corresponde a la mitad de la distancia entre los puntos, A, B entonces el radio es.

$r = \frac{3}{2} \sqrt{5}$

Ahora el otro elemento de la circunferencia que necesitamos es el centro, para ello basta con encontrar las coordenadas del punto medio.

$PM = ( \frac{1 + ( - 2)}{2} , \frac{2 + ( - 4)}{2} )$
$PM = ( \frac{ - 1}{2} , \frac{ - 2}{2} )$
$PM = ( \frac{ - 1}{2} , - 1 )$

Ese punto medio que encontramos corresponde al centro de la circunferencia, ahora lo que falta es encontrar la ecuación canónica y posteriormente encontrar la ecuación general.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = {r}^{2}$
${(x - ( - \frac{1}{2} ))}^{2} + {(y - ( - 1))}^{2} = { (\frac{3}{2} \sqrt{5}) }^{2}$
${(x + \frac{1}{2} )}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{45}{4}$

${x}^{2} + x + \frac{1}{4} + {y}^{2} + 2y + 1 = \frac{45}{4}$

${x}^{2} + {y}^{2} + x + 2y + \frac{1}{4} + 1 = \frac{45}{4}$

${x}^{2} + {y}^{2} + x + 2y + \frac{5}{4} = \frac{45}{4}$

${x}^{2} + {y}^{2} + x + 2y + \frac{5}{4} - \frac{45}{4} = 0$

${x}^{2} + {y}^{2} + x + 2y - \frac{40}{4} = 0$

${x}^{2} + {y}^{2} + x + 2y - 10 = 0$

Esa sería la respuesta, espero haberte ayudado.