Question

Los enteros positivos x e y son los más pequeños que verifican que 360 · x es un cuadrado perfecto y 360 · y es un cubo perfecto. ¿Cuál es la suma de x e y?

Answer 1

Sea 360x y 360y tal que 360x sea un cuadrado perfecto y 360y un cubo perfecto.

Procedemos primero a descomponer en sus factores primos al 360:

$360=2^3\times 3^2 \times 5$

Primero vamos con el 360x:

Para encontrar el valor del cuadrado perfecto, debemos buscar los factores primos (correspondientes al valor de x) que hagan que todos los factores primos del 360 estén elevados por un número múltiplo de 2. En este caso:

$x=2\times 5 \Rightarrow 360.x=2^4\times 3^2 \times5^2$

Si efectuamos la raíz del producto:

$\sqrt{360.x} =\sqrt{2^4\times3^2\times5^2} =2^2\times3\times5=60$

Por lo tanto, el valor de x será de 2 x 5 = 10

De forma similar, para encontrar el valor del cubo perfecto, debemos buscar los factores primos (correspondientes al valor de y) que hagan que todos los factores primos del 360 estén elevados por un número múltiplo de 3. En este caso:

$y=3\times5^2 \Rightarrow 360.y=2^3\times3^3\times5^3$

Luego:

$\sqrt[3]{360.y} =\sqrt[3]{2^3\times3^3\times5^3} =2\times3\times5=30$

Por lo tanto, el valor de y será de 3 x 5² = 75

Y la suma de x e y será de 10 + 75 = 85

Saludos.