Question

Los costos marginales de producción de X unidades de producto denominado Alcohol
Antiséptico producido por la empresa “Químicos Einstein”, están dados por:
C(x)= 1/(x1/2 )
Por otra parte, supongamos que los ingresos marginales se dan por:
R´(x)=10/(x+1)
1. Suponiendo que los costos fijos son de 12 unidades monetarias, ¿Cuál es
la función de los costos totales C(x)?
2. Encontrar la función de ingreso R(x).
3. Encuentra la cantidad de producto que maximiza los beneficios de la
empresa.

Answer 1

La cantidad de producto que maximiza los beneficios de la venta de alcohol antiséptico es  98  unidades de producto.

Explicación paso a paso:

Los beneficios o ganancias  G  es una función resultado de la diferencia entre los ingresos totales  R  y los costos totales C.

R  =  (precio unitario) (cantidad de producto  x)

C  =  Costo fijo + Costo variable (Cv)

Cv  =  (costo unitario)(cantidad de producto  x)

Los costos marginales (CM) e ingresos marginales (RM) representan el cambio que ocurre en los costos totales e ingresos totales, respectivamente, por la producción y venta de una unidad adicional de producto. Estas funciones son las derivadas de las funciones totales.

1. Suponiendo que los costos fijos son de 12 unidades monetarias, ¿Cuál es  la función de los costos totales C(x)?

Ya que la función CM es la derivada de la función  C,  esta se obtiene por la integración de la función  CM:

$\bold{C(x)~=~\int\limits \dfrac{1}{\sqrt{x}}\, dx ~=~2\sqrt{x}~+~Cf}$

La función de Costos Totales es:       $\bold{C(x)~=~2\sqrt{x}~+~12}$

2. Encontrar la función de ingreso R(x).

Ya que la función RM es la derivada de la función  R,  esta se obtiene por la integración de la función  RM:

$\bold{R(x)~=~\int\limits \dfrac{10}{x~+~1}\, dx ~=~10Ln(x)~+~K}$                     (k es nula para  x =  0)

La función de Ingresos Totales es:       $\bold{R(x)~=~10Ln(x~+~1)}$

3. Encuentra la cantidad de producto que maximiza los beneficios de la empresa.

Los máximos beneficios se alcanzan en el punto de equilibrio. Este es el nivel de producción en que los ingresos marginales y los costos marginales son iguales:

$\bold{CM~=~RM\quad\Rightarrow\quad\dfrac{1}{\sqrt{x}}~=~\dfrac{10}{x~+~1}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{x~+~1~-~10\sqrt{x}}{\sqrt{x}(x~+~1)}~=~0}$  

Esta igualdad es cierta si el numerador es nulo y el denominador es no nulo.

$\bold{x~+~1~=~10\sqrt{x}\quad\Rightarrow\quad(x~+~1)^2~=~(10\sqrt{x})^2\quad\Rightarrow\quad x^2~-~98x~+~1~=~0}$

De aquí que   x  es casi igual a cero o casi igual a 98.

La cantidad de producto que maximiza los beneficios de la venta de alcohol antiséptico es  98  unidades de producto.