Question

los ángulos de un cuadrilátero forman una progresión geométrica y el último es 9 veces el segundo. calcula el menor ángulo

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Answer 1

PROBLEMA DE PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Primero, debemos comprender que una progresión geométrica es aquella sucesión numérica, en la cual, cada término se consigue multiplicando el anterior por una cantidad, llamada razón.

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El ejercicio menciona que los ángulos del cuadrilátero forman una progresión geométrica. Esto quiere decir que:

• Al valor del primer ángulo se lo multiplicará por una razón, y se obtendrá el segundo ángulo.
• A este segundo ángulo se lo multiplica por la misma razón, y obtenemos el tercer ángulo.
• Luego, al tercer ángulo se lo multiplica por la razón, hallando el cuarto ángulo.

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Podemos denotar al primer ángulo (el menor ángulo) con una variable: x. Éste es el primer término (a₁) de la serie.

Luego, a este ángulo se lo va a multiplicar por una cantidad que llamaremos "r" (razón). De esta manera, obtendremos el segundo término (a₂) de la sucesión.

Así, sucesivamente, multiplicamos el segundo término por la razón "r", obteniendo el tercero.

Siguiendo este proceso, la progresión geométrica quedaría de la siguiente manera:

$\large{\textsf{ \underbrace{x}_{a_{1}}; \underbrace{xr}_{a_{2}}; \underbrace{xr \cdot r}_{a_{3}}; \underbrace{xr \cdot r \cdot r}_{a_{4}} }}$

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Lo cual se resume en:

$\purple{\Large{\boxed{\mathsf{\underbrace{x}_{a_{1}}; \underbrace{xr}_{a_{2}}; \underbrace{xr^{2}}_{a_{3}}; \underbrace{xr^{3}}_{a_{4}}}}}}$

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Ahora, consideremos que el último término es 9 veces el segundo. Lo representamos de la siguiente forma:

$\large{\boxed{\mathsf{xr^{3} = 9xr}}}$

Resolvemos esta ecuación:

$\large{\textsf{ xr^{3} = 9xr }}$

$\large{\textsf{ r^{3} = \dfrac{9xr}{x} }}$

$\large{\textsf{ r^{3} = 9r }}$

$\large{\textsf{ \dfrac{r^{3}}{r} = 9 }}$

$\small{\text{[En divisi\'{o}n de bases iguales, se restan los exponentes:]}}$

$\large{\textsf{ r^{3-1} = 9 }}$

$\large{\textsf{ r^{2} = 9 }}$

$\large{\textsf{ r = \sqrt{9} }}$

$\large{\boxed{\mathsf{r = 3}}}$

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¡Bien! Ya sabemos que la razón es 3. Reemplazamos este valor en nuestra progresión geométrica:

$\large{\textsf{ \underbrace{x}_{a_{1}}; \underbrace{x \cdot 3}_{a_{2}}; \underbrace{x \cdot 3^{2}}_{a_{3}}; \underbrace{x \cdot 3^{3}}_{a_{4}} }}$

Resultando:

$\purple{\Large{\boxed{\mathsf{\underbrace{x}_{a_{1}}; \underbrace{3x}_{a_{2}}; \underbrace{9x}_{a_{3}}; \underbrace{27x}_{a_{4}}}}}}$

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Excelente. Ahora, falta hallar el ángulo "x". Para ello, recordemos que la suma de ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.

Los ángulos del cuadrilátero son:

• x
• 3x
• 9x
• 27x

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Sumamos e igualamos a 360°:

$\large{\textsf{ x + 3x + 9x + 27x = 360^{\circ} }}$

$\large{\textsf{ 40x = 360^{\circ} }}$

$\large{\textsf{ x = 360^{\circ} \div 4 }}$

$\large{\textsf{ x = 360^{\circ} \div 40 }}$

$\red{\large{\boxed{\mathsf{x = 9^{\circ}}}}}$

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El menor ángulo mide 9°. Hallemos la medida de todos los ángulos del cuadrilátero:

• x = 9°
• 3x = 3(9°) = 27°
• 9x = 9(9°) = 81°
• 27x = 27(9°) = 243°

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Comprobemos. Su suma es igual a 360°:

$\large{\textsf{ 9^{\circ} + 27^{\circ} + 81^{\circ} + 243^{\circ} = 360^{\circ} \ \ \ \checkmark}}$

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Y el cuarto ángulo es 9 veces el segundo:

$243^{\circ} = 9(27^{\circ})$

$\boxed{243^{\circ} = 243^{\circ}}\ \ \checkmark$

Es correcto.

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Respuesta. El menor ángulo mide 9°.

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$\small{\textsf{[Te adjunto el cuadril\'{a}tero con las medidas reales de los \'{a}ngulos]}}$‏‏

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