Los alumnos del 5to D desean hacer cajas sin tapa para guardar sus carteles. Para esto harán uso de piezas de 45 x 20 cms. Cortando cuadrados iguales en las 4 esquinas y doblando. Encuentra la longitud del lado del cuadrado que será cortado en cada esquina si se quiere obtener una caja que encierre el mayor volumen posible.
Respuestas a la pregunta
La longitud del lado del cuadrado que debe ser cortado para obtener una caja que encierre el mayor volumen posible es x = 4,33 cm.
Definición de las variable
De acuerdo con el gráfico que se anexa podemos decir
Largo = L = 45 - 2x
Ancho = A = 20-2x
Altura = H = x
en donde x es el lado del cuadrado que debe cortarse para generar la caja
Por otro lado el volumen de la caja será, de acuerdo con las dimensiones arriba definidas será
V(x) = (45 - 2x)(20 - 2x)(x) = 4x³ - 130x² + 900x
Para hallar el mayor volumen posible de la caja, igualamos a cero V'(x)
V'(x) = 12x² - 260x + 900 = 0
Esta es una ecuación de 2do grado que al resolver se obtendrán dos valores:
x₁ = 17,34 cm => Se desecha porque hace 20-2x < 0 lo que es ilógico
x₂ = 4,33 cm
Por lo tanto, el valor del cuadrado que debe ser cortado en cada esquina para que el volumen sea máximo es x = 4,33 cm
