Question

Los 4 primeros terminos de una progresion aritmetica son a, x, b, 2x. Calcula el valor de a/b

Answer 1

Operaciones con progresiones aritméticas (PA)

Sabemos que las PA son sucesiones de números ---llamados términos de la progresión--- de forma que cada término se obtiene de sumar una cantidad fija al anterior. Esa cantidad que se añade se llama diferencia "d".

Así tenemos por ejemplo la PA siguiente:

2, 4, 6, 8, ... etc ... y corresponde a la progresión de números pares donde el primer término es el primer número par (2) y se le van sumando 2 unidades para ir obteniendo los siguientes.

Esas dos unidades que se van añadiendo es la diferencia "d" entre términos consecutivos y nunca varía su valor en una PA.

Según eso, en la PA que nos dan, podemos plantear dos ecuaciones basadas en esa diferencia entre términos consecutivos de manera que si resto al 2º término que es "x" el 1º término que es "a", el resultado será el mismo que si resto al 3º término que es "b" el 2º término que es "x".

Con ello planteo la primera ecuación la cual desarrollaré para despejar "x":

$x-a=b-x\\ \\ 2x=a+b\\ \\ x=\dfrac{a+b}{2}$

Para la segunda ecuación hago lo mismo pero subiendo hasta el 4º término y digo que restando el 3º término que es "b" del 2º término que es "x", el resultado es el mismo que si resto del 4º término que es "2x" el 3º término que es "b".

Así se plantea la segunda ecuación que también desarrollaré para despejar "b":

$b-x=2x-b\\ \\ 2b=3x\\ \\ b=\dfrac{3x}{2}$

Ahora sustituyo el valor de "x" despejada de la 1ª ecuación en esta 2ª y desarrollo la expresión hasta llegar a la solución:

$b=\dfrac{3*(a+b)/2}{2} \\ \\ \\ b=\dfrac{3a+3b}{4} \\ \\ 4b=3a+3b\\ \\ 4b-3b=3a\\ \\ b=3a\\ \\ \dfrac{a}{b} =\dfrac{1}{3}$

El valor pedido es 1/3

Saludos.