Question

lo funcion f (t) =t²-t+1/t² +1 mide el porcentaje
del nivel normal t²t1 de oxigeno en un
estanque, donde t es el tiempo en semanas
contado desde que un desecho organico
se arroja a él.
Hallar la razon de cambio de f con
respecto a t después de:
a) t = 12 semanas
b) t= 2 semanas
c) t= 8 Semanas​

Answer 1

Si f(t) es el porcentaje del nivel normal de oxígeno en función del tiempo en semanas, la razón de cambio de ese porcentaje se define como:

$r=\frac{\Delta f(t)}{\Delta t}$

Lo que equivale a derivar la función, la cual pasamos en limpio:

$f(t)=\frac{t^2-t+1}{t^2+1}$

Como no podemos simplificar la función mediante la factorización de los polinomios, tenemos que aplicar la regla de cociente, por la cual:

$(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$

La derivada de la función es:

$f'(t)=\frac{(2t-1)(t ^2+1)-(t^2-t+1)(2t)}{(t ^2+1)^2}$

$f'(t)=\frac{t^2-1}{(t ^2+1)^2}$

Los resultados que siguen serán la variación de nivel de oxígeno por semana.

a) Hallamos el valor de la derivada en t=12:

$f'(12)=\frac{12^2-1}{(12 ^2+1)^2}=6,8x10^{-3}$

El nivel de oxígeno aumenta un 0,68% del nivel normal cada semana a la semana 12.

b) Hallamos el valor de la derivada en t=2:

$f'(2)=\frac{2^2-1}{(2 ^2+1)^2}=0,12$

El nivel de oxígeno aumenta 12% del nivel normal por semana en la semana 2

c) Hallamos el valor de la derivada en t=8:

$f'(2)=\frac{8^2-1}{(8^2+1)^2}=0,0149$

El nivel de oxígeno aumenta un 1,49% del nivel normal cada semana en la semana 8