Question

LÍMITES Y CONTINUIDAD

(*) Necesito todo el procedimiento junto con su explicación porfavor. Muchas gracias :)

Answer 1

Tenemos una función por trozos. 
                   $\frac{b}{2-x}$               si  x ≤ 1
f(x)              $a x^{2} -3x+1$      si  x > 1

Para que f(x) sea derivable en x = 1 debe ser continua.  

Continuidad para x = 1 
$\lim_{x \to1 ^{-} } f(x) = \frac{b}{2-x}$  sustituimos x por 1 = b

$\lim_{x \to1 ^+} } f(x)=a x^{2} -3x+1$ sustituimos x por 1 = a - 2

f(1) = b 

b = a - 2   

Derivabilidad para x = 1  (Derivamos ambas funciones)
 
             $(b(2-x) ^{-1} ) = b (-1)(2-x) ^{-2} = \frac{-b}{(2-x)^{2} }$        
f `(x)      2ax - 3 
             -------------------------------------------------------------------------------------
$\lim_{x \to 1^-} } f(dx) = \frac{-b}{(2-x) ^{2} }$  sustituimos x por 1

= - b 

$\lim_{x \to 1 ^{+} } f(dx)= 2ax - 3$ sustituimos x = 1   

= 2a - 3 

Y de ahí obtenemos   -b = 2a - 3 

Resolvemos 

  b  = a - 2 
- b  = 2a - 3 
-------------------------                       5
         3a - 5             ⇒         a = -------
                                                     3

        5                                            1 
b = ----- - 2              ⇒         b = - -------
        3                                            3

Estos son los valores para que la función f(x) sea derivable en x = 1 

---------------------------------------------------------------------------------------------


Obs:
Para que f(x) sera continua en x = 1 
1.- f(1)   existe. 
2.- $\lim_{x \to1 } f(x)$  existe
3.- $\lim_{x \to 1 } f(x) = f(1)$
____________________________________________________________

Para a = 1 y b = 3 
                   $\frac{3}{2-x}$      si  x ≤ 1
f(x)              $x^{2} -3x+1$        si  x > 1

                      3
f1(dx)        ---------
                  (2-x)²

f2(dx)         2x - 3

igualamos a cero ambas derivadas. 

 3
-----    = 0          ⇒ = 3   sustituimos el valor en f(dx) = -3 es decreciente
(2-x)²
                                    3
 2x - 3 = 0        ⇒  x = ----- sustituimos  f(dx) = 0  es constante. 
                                     2

Si hallamos el límite de ambas derivadas para x = 1 
$\lim_{x \to1 ^{-} } f(dx) \frac{3}{(2-x) ^{2} } = 3$
$\lim_{x \to 1 ^{+} } f(dx) 2x - 3 = -1$

no hay continuidad.