Question

limites de raices mediante manera analítica

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Answer 1

1) Lo primero que debes hacer es evaluar el límite y ver si te da una indeterminación.

$Lim_{x→0} \frac{ \sqrt{x + 2} - \sqrt{2} }{x} = \frac{ \sqrt{0 + 2} - \sqrt{2} }{0} = \frac{0}{0}$

Logramos ver qué nos da una indeterminación por lo cual debemos resolverlo de otra forma.

2) Se trata de un límite con raíces por lo cual el método para quitar la indeterminación es multiplicar por el conjugado de los radicales presentes.

(a+b)

su conjugado es cambiando el signo de enmedio

(a-b)

$Lim_{x→0} \frac{ \sqrt{x + 2} - \sqrt{2} }{x} \times \frac{ \sqrt{x + 2} + \sqrt{2} }{ \sqrt{x + 2} + \sqrt{2} }$

Nota: queremos conservar la igualdad así que si queremos multiplicar por el conjugado debe ser en el numerador y denominador para que no alteremos la igualdad y sea como multiplicar por "1".

Nota 2: (a+b)(a-b)=a²-b²

$Lim_{x→0} \frac{ (\sqrt{x + 2} - \sqrt{2})(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}) }{x(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2})}$

$Lim_{x→0} \frac{ (\sqrt{ {(x + 2)}^{2} } - \sqrt{ {(2)}^{2} } }{x(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2})}$

$Lim_{x→0} \frac{ {(x + 2) } - (2) }{x(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2})}$

$Lim_{x→0} \frac{ {x + 2 } - 2 }{x(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2})}$

$Lim_{x→0} \frac{ x }{x(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2})}$

$Lim_{x→0} \frac{ 1 }{\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}}$

Ahora que ya simplificamos todo debemos de evaluar de nuevo el límite.

$Lim_{x→0} \frac{ 1 }{\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}} = \frac{1}{ \sqrt{0 + 2} + \sqrt{2} } = \frac{1}{2 \sqrt{2} }$

Ese sería el valor del límite.

Rpta

$\frac{1}{2 \sqrt{2} }$