Question

limite cuando x tienda a 0 limite {x-sen3x} / {x-sen2x}

Answer 1

Bien, tienes el siguiente límite,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{\frac{x-\sin(3x)}{x-\sin(2x)}}$

cuando tengas límites trignométricos, es especial, senos o cosenos, debemos tratar de llegar al siguiente límite conocido,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin(x)}{x}}=1$

entonces de alguna forma debemos conseguir que tengamos, ésto...ya tienes alguna idea??...podemos multiplicar por un número inteligente, simultiplicas algo por 1 te ese mismo algo...el 1 es un número inteligentísimo, pero con mulitplicar solo por (1), no tiene chiste...lo simpático es que podemos escogeer la "estructura" de éste 1, por ejemplo 5/5=1, 189/189=1 en este caso, como el límite nos garantiza que es contínua en x cuando se acerca a cero, pero nunca es cero, podemos escoger el siguiente número inteligente,

 $\displaystyle\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=1$
entonces,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{\frac{x-\sin(3x)}{x-\sin(2x)}}\left(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\right)=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\frac{x-\sin(3x) }{x}}{\frac{x-\sin(2x)}{x}}}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{1-\frac{\sin(3x)}{x}}{1-\frac{\sin(2x)}{x}}}$

ahora debemos multiplicar por otro número inteligente, para el numerador será la forma 3/3 y para numerador 2/2,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{\frac{1-\left(\frac{3}{3}\right)\frac{\sin(3x)}{x}}{1-\left(\frac{2}{2}\right)\frac{\sin(2x)}{x}}}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{1-3\left(\frac{\sin(3x)}{3x}\right)}{1-2\left(\frac{\sin(2x)}{2x}\right)}}$

bien, ahora, aplicasmos las propieaddes de los límites que nos permite calcular el límite de arriba y abajo...suponiendo que existen...ahora,
 
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{\frac{1-3\left(\frac{\sin(3x)}{3x}\right)}{1-2\left(\frac{\sin(2x)}{2x}\right)}}=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow0}{1-3\left(\frac{\sin(3x)}{3x}\right)}}{\lim\limits_{x\rightarrow0}{1-2\left(\frac{\sin(2x)}{2x}\right)}}=\frac{1-3(1)}{1-2(1)}=\frac{-2}{-1}=2$

mira que el límite funciona, porque el límite especial que puse al comienzo funcional para cualquier equix..es éste caso el ángulo vale x=3x el reto está en armar el límite, aunque como ves, solo se trata de multiplicar por 1.

y eso sería todo