Question

Lim (x2- 6x + 7)/(x+1)
x→-1

lim 9-x a la 2/3+x
x→-3

AYUDA

Answer 1

Hola , Veamos

               APLICACIÓN DE LIMITES

para entender un poco sobre el tema de limite de función y sus diversas aplicaciones se debe entender su definición formal y comprenderla de tal manera que pueda facilitar la resolución de problemas

en esta tarea explico paso a paso como se entiende la definición :

                     https://brainly.lat/tarea/24449053

EJEMPLO 1:

                                      $\lim_{x \to -1} \cfrac{x^{2}-6x-7 }{x+1} }$

  tenemos que considerar que :

                                $x^{2} -6x-7=(x+1)(x-7)$

  Ahora

                                $\lim_{x \to -1} \cfrac{(x+1)(x-7)}{x+1} }=-8$

Apliquemos la definición formal explicado en la tarea anterior.

                  $\forall \epsilon>0 ,\exists \delta>0 /|x-(-1)|<\delta\rightarrow| \cfrac{x^{2}-6x-7 }{x+1}+8|<\epsilon$

                  $\forall \epsilon>0 ,\exists \delta>0 /|x+1|<\delta\rightarrow|{ \cfrac{x^{2}-6x-7 }{x+1}+8 }|<\epsilon$

                  $\forall \epsilon>0 ,\exists \delta>0 /|x+1|<\delta\rightarrow|{ \cfrac{x^{2}+2x+1}{x+1} }|<\epsilon$

                  $\forall \epsilon>0 ,\exists \delta>0 /|x+1|<\delta\rightarrow|{ \cfrac{(x+1)^2}{x+1} }|<\epsilon\\ \\ \forall \epsilon>0 ,\exists \delta>0 /|x+1|<\delta\rightarrow|{ x+1|<\epsilon$

                  sea $\delta$=$\delta_1$=1

                ¿Porque?

                  generalmente el delta se acomoda a cualquier numero pequeño

                  por mello generalmente se utiliza al uno por conveniencia

                  sin embargo en algunos caso se utilizara otro valor según sea

                  el caso.

                                 $|x+1|<1\Leftrightarrow-1<x+1<1$

                                                             $-2<x<0$

                Para ello

                  $\delta=|x+1|$

                 ¿Porque?

                  por el hecho que queremos encontrar una máxima vecindad

                  para encontrar una relación entre épsilon y delta

                 De la desigualdad

                                 $|x+1|<\epsilon\Leftrightarrow\delta.1=\epsilon$

                                                         $\delta=\epsilon$

                ¿Porque se iguala ?

                  por hecho mencionado anteriormente se busca la máxima

                  vencida para obtener un delta mínimo  

                 por lo que concluimos que

                 $\delta_m_i_n_m_i_m_o= [1,\epsilon ]$

EJEMPLO 2 :

                                         $\lim_{x \to -3} \cfrac{9-x^{2} }{x+3} }$

tenemos que considerar que :

                                    $9-x^{2} =(3-x)(3+x)$

Ahora :

                                 $\lim_{x \to -3} \cfrac{(3-x)(3+x)}{x+3 }=6$

Apliquemos la definición formal explicado en la tarea anterior.

            $\forall \epsilon>0 ,\exists \delta>0 /|x-(-3)|<\delta\rightarrow| \cfrac{3-x^{2} }{x+3}-6|<\epsilon$

            $\forall \epsilon>0 ,\exists \delta>0 /|x+3|<\delta\rightarrow| \cfrac{9-x^{2} }{x+3}-6|<\epsilon$

            $\forall \epsilon>0 ,\exists \delta>0 /|x+3|<\delta\rightarrow|{ \cfrac{-x^{2}-6x-9 }{x+3} }|<\epsilon$

            $\forall \epsilon>0 ,\exists \delta>0 /|x+3|<\delta\rightarrow|{ \cfrac{-(x^{2}+6x+9) }{x+3} }|<\epsilon$

            $\forall \epsilon>0 ,\exists \delta>0 /|x+3|<\delta\rightarrow|{ \cfrac{x^{2}+6x+9 }{x+3} }|<\epsilon$

            $\forall \epsilon>0 ,\exists \delta>0 /|x+3|<\delta\rightarrow|{ \cfrac{(x+3)^{2} }{x+3} }|<\epsilon$

            $\forall \epsilon>0 ,\exists \delta>0 /|x+3|<\delta\rightarrow|3+x|<\epsilon$

            sea $\delta_2=\delta=1$

                        $|x+3|<1\Leftrightarrow-1<x+3<1$

                                                     $-4<x<-2$

           Para ello

            $\delta=|x+3|$

           De la desigualdad

            $|x+3|<\epsilon\Leftrightarrow\delta.1=\epsilon$

                                    $\delta=\epsilon$

           Por lo que concluimos que

            $\delta_m_i_n_m_i_m_o= [1,\epsilon ]$

Un cordial saludo.