Question

lim x-›0[ sin² (3x)/X² cos (x)]​

Answer 1

Este límite será abordado con una fórmula de límites trigonométricos, la cual es:

$\boxed{ \bf{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(nx)}{nx} =1 }}$

n viene a ser la constante que acompaña a x, algunos ejemplos pueden ser:

$\diamondsuit \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{x}=1\\ \diamondsuit\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(2x)}{2x}=1 \\ \diamondsuit\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{3x}=1$

Los límites se definen como los valores a los que tiende una función f(x) evaluada en cierto punto, en este caso la función es lo que tienes en los corchetes, para lo cual, se nos pide evaluar el siguiente límite:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^{2}(3x)}{x^{2} \cos(x)}$

Yo lo resolveré por artificios y usando algunas leyes de los límites, descomponemos sin²(3x) y x²:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)\sin(3x)}{xx\cos(x)}$

Dividimos 2 veces entre 3x, quedando:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\sin(3x)}{3x}*\dfrac{\sin(3x)}{3x} }{\dfrac{x}{3x}*\dfrac{x}{3x}*\cos(x) }$

Esto no cambia la expresión, ya que simplificando es como si no tuvieras nada, reduces:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\sin(3x)}{3x}*\dfrac{\sin(3x)}{3x} }{\dfrac{1}{3}*\dfrac{1}{3}*\cos(x) }$

Efectúas la multiplicación

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\sin(3x)}{3x}*\dfrac{\sin(3x)}{3x} }{\dfrac{1}{9}*\cos(x) }$

Aplicaremos estas 2 propiedades de los límites:

$\boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{k(x)}{g(x)}=\dfrac{ \lim_{x \to 0}k(x)}{ \lim_{x \to 0} g(x) } }\\\boxed{ \lim_{x \to 0} p(x)*q(x)=[\lim_{x \to 0} p(x)][\lim_{x \to 0} q(x)]}$

Aplicamos esto:

$\dfrac{ \overbrace{[\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{3x}]}^{1}\:\overbrace{[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{3x} ] }^{1}}{\dfrac{1}{9} \lim_{x \to 0} \cos(x) }$

Como puedes ver, se logró usar el límite que expuse al principio, sólo queda reducir usar los límites inmediatos:

$\dfrac{1}{\dfrac{1}{9}\cos(0) } \to \dfrac{1}{\dfrac{1}{9} }\Rightarrow \boxed{9}$