Question

lim cuando x tiende a 0 de 1-cosx /tanx-senx

Answer 1

Hola..!! , Veamos

                                 Regla de L'hopital

Esta regla en realidad me parece que fue copia de un hermano de los Bernoulli , ya que este era maestro de L'hopital y pues este publico un libro en el cual enuncia lo siguiente :

Sea don funciones derivables f y g tal que al tomar limite de un valor que  f /g nos dé una  indeterminación  de la forma ( 0/0 ;  ∞/∞  ) se puede hacer

         $\lim_{x \to a} \cfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \cfrac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x \to a} \cfrac{f''(x)}{g''(x)}=\lim_{x \to a} \cfrac{f'''(x)}{g'''(x)}=....$

pero siempre teniendo en cuenta la forma indeterminada en el caso que se levante la indeterminación entonces allí acaba el proceso ok

EJEMPLO :

              $\lim_{x \to 0} \cfrac{1-cos(x)}{tan(x)-sen(x)} \ \ \ \ \ \ ; \ \ \ \ \ \ buscando \ la \ indeterminacion$

tenemos que buscar el 0/0 ∨ ∞/∞

                                $\cfrac{1-1}{0-0}=\cfrac{0}{0} \ \to \ \ \ \ forma \ indeterminada \ buscada$

Aplicando la regla de L'hopital

$\lim_{x \to 0} \cfrac{1'-(cos'(x))}{tan'(x)-sen'(x)}=\lim_{x \to 0} \cfrac{0-(-sen(x))}{sec^{2}(x) -cos(x)}=\lim_{x \to 0} \cfrac{senx}{sec^{2} (x)-cos(x)}$

buscamos si levantamos la indeterminación :

                                 $\lim_{x \to 0} \cfrac{senx}{sec^{2} (x)-cos(x)}=\cfrac{0}{1-1}=\cfrac{0}{0}$

esto quiere decir que aun no levantamos la indeterminación

nuevamente aplicamos la Regla

                  $\lim_{x \to 0} \cfrac{senx}{sec^{2} (x)-cos(x)}=\lim_{x \to 0} \cfrac{cos(x)}{2sec(x).sec'(x)+sen(x)}$

      $\lim_{x \to 0} \cfrac{cos(x)}{2sec(x).sec'(x)+sen(x)}=\lim_{x \to 0} \cfrac{cos(x)}{2sec(x).sec(x).tan(x)+sen(x)}$

$\lim_{x \to 0} \cfrac{cos(x)}{2sec^{2} (x).tan(x)+sen(x)}=\lim_{x \to 0} \cfrac{-sen(x)}{4sec^{2} (x).tan^{2}(x)+2sec^{4}(x)+cos(x)}$

buscamos si levantamos la indeterminación :

$\lim_{x \to 0} \cfrac{-sen(x)}{4sec^{2} (x).tan^{2}(x)+2sec^{4}(x)+cos(x)}=\cfrac{0}{0+2+1} =0$

correcto se a levantado la indeterminación

Así que :

$\lim_{x \to 0} \cfrac{1-cos(x)}{tan(x)-sen(x)} = 0$

Un cordial Saludo