Question

ley de senos ayuda plissss <333333​

Answer 1

La longitud del cable del teleférico es de 2339.31 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Se representa la situación en un triángulo ABC el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la distancia desde donde se aborda el teleférico hasta la base de la montaña que se ve en la figura, el lado AC  (x = b) que equivale a la longitud del cable del teleférico, donde se va desde la base en A hasta la cima ubicada en C y el lado BC (a) que es la inclinación de la ladera de la montaña. Donde en A se tiene un ángulo de 42° y en B uno de 130°

En donde se debe calcular cual es la distancia "x" siendo esta la longitud del cable del teleférico

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Denotamos a los ángulos dados por enunciado: de 42° y de 130° como α y β respectivamente

Hallamos el valor del del tercer ángulo C al cual denotamos como γ  

Por enunciado sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo oblicuángulo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 42^o+ 130^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 42^o- 130^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 8^o }}$

El valor del ángulo C (γ) es de 8°

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallamos el valor de la distancia "x" la cual es la longitud del cable del teleférico

Denotamos a la distancia entre A Y B de la cual conocemos su valor como "c" y a la distancia entre A y C como "b"

$\bold {x = b}$

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen (130 ^o ) } = \frac{ 425 \ m }{sen(8^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 425 \ m \ . \ sen(130 ^o ) }{\ sen(8^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 425 \ m \ . \ 0.7660444431189 }{0.1391731009600 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 325.56888832556 }{ 0.1391731009600 }\ m}}$

$\boxed { \bold { b =2339.309 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { b =2339.31 \ metros }}$

La longitud del cable del teleférico es de 2339.31 metros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas