Leono y Pantro deciden correr. El camino de Leono está descrito por la siguiente función: =4−2. Mientras que Pantro describe la siguiente =Resuelve el anterior problema por integración o reglas de integrales, comprueba por él método de Riemann (Por aproximación); y encuentra el área.
Respuestas a la pregunta
RESPUESTA:
Las ecuaciones de Leono y de Pantro son las siguientes:
1- y = 4x -x²
2- y = x
Para encontrar el área por método de integración debemos encontrar los puntos de intersección entre las dos curvas, esto se hace igualando las funciones.
x = 4x - x²
0 = 3x - x²
0 = x(3-x)
Es decir, tenemos a x₁ = 0 y x₂ = 3, buscamos los valores de y.
y = x ∴ y₁ = 0 ∧ y₂ = 3
Ahora la integral viene definida por:
∫ₐᵇ [g(x) - f(x)] dx
Donde g(x) es la función superior y f(x) es la función inferior.
A = ∫₀³ [4x-x²-x] dx
A = [2x² - x³/3 - x²/2]³₀
Evaluamos limite superior menos inferior
A = [2(3)² - (3)³/3 - (3)²/2- (2(0)² - (0)³/3 - (0)²/2) ]
A = 4.5 u² → Área entre las curvas
COMPROBACIÓN. Método de Riemann, dependiendo la partición el método se vuelve largo, sin embargo como comprobación se realizará de 3 intervalos solamente y aplicando una aproximación por trapecio.
Δx = (b-a)/n
Δx = (3-0)/3
Δx = 1 → Salto de crecimiento
Creamos intervalo, tenemos:
I = [0,0+1,1+1,2+1,3]
I= [0,1,2,3]
Método de trapecio nos indica que:
A = Δx/2 · [ f(x₁) + 2f(x₂) + 2f(x₃) +f(x₄)]
Calculamos el área bajo la curva de la parábola. Evaluamos la función en los puntos.
f(0) = 4(0) - (0)² = 0
f(1) = 4(1) - (1)² = 3
f(2) = 4(2) - (2)² = 4
f(3) = 4(3) - (3)² = 3
Entonces el área debajo de la parábola será:
Ap = 1/2 · [0 + 3·2 + 4·2 + 3] = 8.5 u²
Buscamos el área bajo la recta. Evaluamos en los puntos
f(0) = 0
f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = 3
Entonces el área bajo la curva será:
Ar = 1/2 · [0 + 2·1 + 2·2 + 3] = 4.5 u²
El área entre las dos curvas será :
A = 8.5 u² - 4.5 u² = 4 u² → Aproximación área entre las curvas.
Podemos observar que la aproximación es muy buen, si se quiere aumentar la precisión se debe aumentar los términos de la partición.
