Question

Las superficies de dos cuadrados suman 74cm^2 y el producto de sus diagonales es 70. ¿Cuál es la longitud de sus lados?
Gracias.

Answer 1

Respuesta: Las longitudes de los lados de los cuadrados son 5 cm  y 7 cm.

Explicación paso a paso: Sea  L  la longitud del lado de uno de los cuadrados . Y  sea M la longitud del lado del otro cuadrado.

Como la suma de sus superficies es 74 cm², entonces:

L² + M²  = 74 ................... (1)

Según el Teorema de Pitágoras, la diagonal  D del primer cuadrado es tal que D² = L² + L² ⇒ D² = 2L² ⇒ D = L√2.

Y la diagonal E del segundo cuadrado es tal que E² = M² + M²

E²  =  2M² ⇒ E = M√2.

Se sabe que el producto de las diagonales es 70. Entonces:

L√2  .  M√2 = 2LM  ⇒ 2LM = 70  .............. (2)

De (2):

M  =  70/2L = 35/L  ................ (3)

Al sustituir el valor de M en (1), se obtiene:

L²  +  (35/L)²  =  74

L²  +  1225/L² = 74

(L^4  +  1225) / L²  = 74

L^4  +  1225 = 74L²

L^4  -  74L²  +  1225  = 0  ................. (*)

Sea  L² = x, entonces la ecuación (*) se convierte en:

x²  -  74x  +  1225  = 0

(x - 49)(x - 25) = 0

x = 49 ⇒ L² = 49,  L = √49 = 7

x = 25 ⇒ L² = 25,  L = √25 = 5

Por otra parte, al sustituir los valores de L en (3), se obtiene:

Si  L = 7,  M = 35/7 = 5

Si  L = 5, M = 35/5 = 7

Las longitudes de los lados de los cuadrados son 5 cm  y 7 cm