Las superficies de dos cuadrados suman 74cm^2 y el producto de sus diagonales es 70. ¿Cuál es la longitud de sus lados?
Gracias.
Respuestas a la pregunta
Respuesta: Las longitudes de los lados de los cuadrados son 5 cm y 7 cm.
Explicación paso a paso: Sea L la longitud del lado de uno de los cuadrados . Y sea M la longitud del lado del otro cuadrado.
Como la suma de sus superficies es 74 cm², entonces:
L² + M² = 74 ................... (1)
Según el Teorema de Pitágoras, la diagonal D del primer cuadrado es tal que D² = L² + L² ⇒ D² = 2L² ⇒ D = L√2.
Y la diagonal E del segundo cuadrado es tal que E² = M² + M²
E² = 2M² ⇒ E = M√2.
Se sabe que el producto de las diagonales es 70. Entonces:
L√2 . M√2 = 2LM ⇒ 2LM = 70 .............. (2)
De (2):
M = 70/2L = 35/L ................ (3)
Al sustituir el valor de M en (1), se obtiene:
L² + (35/L)² = 74
L² + 1225/L² = 74
(L^4 + 1225) / L² = 74
L^4 + 1225 = 74L²
L^4 - 74L² + 1225 = 0 ................. (*)
Sea L² = x, entonces la ecuación (*) se convierte en:
x² - 74x + 1225 = 0
(x - 49)(x - 25) = 0
x = 49 ⇒ L² = 49, L = √49 = 7
x = 25 ⇒ L² = 25, L = √25 = 5
Por otra parte, al sustituir los valores de L en (3), se obtiene:
Si L = 7, M = 35/7 = 5
Si L = 5, M = 35/5 = 7
Las longitudes de los lados de los cuadrados son 5 cm y 7 cm