Question

Las raıces cuartas del numero −4096 describen un cuadrado en el plano complejo. Proporcionad las coordenadas de los vertices que describen el cuadrado.
Si alguien pudiera ayudarme por favor. Gracias

Answer 1

Los vértices del cuadrado determinado por las raíces complejas tienen las siguientes coordenadas:

$(4\sqrt{2};4\sqrt{2})\\(-4\sqrt{2};4\sqrt{2})\\(-4\sqrt{2};-4\sqrt{2})\\(4\sqrt{2};-4\sqrt{2})$

Explicación paso a paso:

El número -4096 se puede expresar como $4096\angle180\°$, por lo que sus raíces cuartas se pueden obtener usando el procedimiento para números complejos:

$w_1=\sqrt[4]{4096}\angle(\frac{180+360.0}{4})=8\angle45\°\\w_2=\sqrt[4]{4096}\angle(\frac{180+360.1}{4})=8\angle135\°\\w_3=\sqrt[4]{4096}\angle(\frac{180+360.2}{4})=8\angle225\°\\w_4=\sqrt[4]{4096}\angle(\frac{180+360.3}{4})=8\angle315\°$

En sus formas binómicas, estos números complejos son:

$w_1=8(cos(45\°)+i.sen(45\°))=4\sqrt{2}+4\sqrt{2}i\\w_2=8(cos(135\°)+i.sen(135\°))=-4\sqrt{2}+4\sqrt{2}i\\w_3=8(cos(225\°)+i.sen(225\°))=-4\sqrt{2}-4\sqrt{2}i\\w_4=8(cos(315\°)+i.sen(315\°))=4\sqrt{2}-4\sqrt{2}i$

Si esto lo trasladamos al plano cartesiano en forma de pares ordenados, los vértices del cuadrado determinado quedan:

$(4\sqrt{2};4\sqrt{2})\\(-4\sqrt{2};4\sqrt{2})\\(-4\sqrt{2};-4\sqrt{2})\\(4\sqrt{2};-4\sqrt{2})$