Question

Las líneas de Nazca están formadas por una enorme red de líneas y dibujos de animales, plantas y otras figuras atribuidas a la cultura Nazca. Las líneas, ubicadas entre los km 419 y km 465 de la carretera Panamericana Sur, cubren un área aproximada de 350 km2. Una avioneta sobrevuela este patrimonio cultural en línea recta y horizontalmente divisa en tierra un punto A, con un ángulo de depresión igual a 53°. Si luego de recorrer 1200 m se encuentra exactamente por encima del punto A.

Answer 1

La longitud de la línea visual es de 2000 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados)

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k, y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k . En donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo  y resolución del ejercicio.

Tenemos un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC que equivale a la altura de la avioneta, el lado AB que representa la trayectoria de la avioneta y el lado AC que es la longitud visual al punto A a hallar, con un ángulo de depresión de 53°

La avioneta al recorrer 1200 metros se encuentra exactamente encima del punto A

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se traslada el ángulo de 53° al punto A para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales P1 y P2

Solución

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos

• Trayectoria avioneta = 1200 metros

• Ángulo de depresión = 53°

• Debemos hallar la longitud visual al punto A

Relacionamos estos datos con el coseno del ángulo

Como tenemos un triángulo notable

$\boxed { \bold { cos(53)\° = \frac{3}{5} }}$

$\boxed { \bold { cos(53)\° = \frac{cateto \ adyacente}{hipotenusa} = \frac{AB}{AC} }}$

$\boxed { \bold { cos(53)\° = \frac{trayectoria \ avioneta}{linea \ visual \ a \ A} = \frac{AB}{AC} }}$

$\boxed { \bold { l\'inea \ visual \ a \ A \ (AC) = \frac{trayectoria \ avioneta}{ cos(53)\° } }}$

$\boxed { \bold { l\'inea \ visual \ a \ A \ (AC) = \frac{1200 \ metros}{ cos(53)\° } }}$

Si

$\boxed { \bold { cos(53)\° = \frac{3}{5} }}$

$\boxed { \bold { l\'inea \ visual \ a \ A \ (AC) = \frac{1200 \ metros }{ \frac{3}{5} } }}$

$\boxed { \bold { l\'inea \ visual \ a \ A \ (AC) = 1200 \ metros \ . \ \frac{5}{3} } }}$

$\boxed { \bold { l\'inea \ visual \ a \ A \ (AC) = 2000 \ metros } }}$

La línea visual a A es de 2000 metros

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La trayectoria de la avioneta es de 1200 metros

Y al ser el lado adyacente al ángulo notable de 53° medirá 3k

Planteamos

$\boxed { \bold { trayectoria \ avioneta = 1200 \ metros = 3k } }}$

Despejamos a la constante k

$\boxed { \bold { 3k= 1200 \ metros } }}$

$\boxed { \bold { k = \frac{ 1200 \ metros }{3} } }}$

$\boxed { \bold { k= 400 } }}$

El valor de la constante k es 400

La hipotenusa en un triángulo notable de 53°  37°-que representa la línea visual al punto A- siempre mide 5k

Planteamos

$\boxed { \bold { l\'inea \ visual \ a \ A \ (AC) = 5k } }}$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed { \bold { l\'inea \ visual \ a \ A \ (AC) = 5 \ . \ 400 } }}$

$\boxed { \bold { l\'inea \ visual \ a \ A \ (AC) = 2000 \ metros } }}$