Question

Las ganancias máximas de una empresa productora de estampitas para cada (x) unidad vendida se ha calculado como G(x)=120x-2x^2-80, siendo x la cantidad de estampitas que se producen cada día. a) Expresa la ecuación en forma estándar. b) ¿Cuál es la ganancia máxima que puede obtener? c) ¿A qué precio de venta unitario se obtiene la máxima ganancia? d) Calcule el número de unidades necesarias para obtener una ganancia de 2400 e) Si se vende 75 unidades ¿cuánto es la ganancia?

Answer 1

Aplicacion del criterio de primera y segunda derivada

G(X) = 120X - 2X² - 80

a) G(x) = -2X² + 120X - 80

G´(x) = -2(2)X + 120

G´(x) = -4X + 120 (Primera derivada)

Hago G´(x) = 0

0 = -4X + 120

4X = 120

X = 120/4

X = 30 Estapitas

Ahora aplico la segunda derivada para mirar si tengo un maximo o un minimo

G´´(x) = -4

-4 < 0 (Tengo un maximo)

Para X = 30 Estapintas tengo la G(x) Maxima

b) G(30) = -2(30)² + 120(30) - 80

G(30) = -2(900) + 3600 - 80

G(30) = -1800 + 3600 - 80

G(30) = 1720

Ganancia maxima 1720

c) El numero de unidades es 30

d) G(x) = 2400

2400 = -2X² + 120X - 80

0 = -2X² + 120X - 80 - 2400

0 = -2X² + 120X - 2480

Donde: a = -2; b = 120; c = -2480

$X=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Aplicando solucion a esta ecuacion de segundo grado obtenemos raices imaginarias, es decir que no se puede obtener una ganancia de 2400

X1 = 30 + 2√85 i

X2 = 30 - 2√85 i

e) X = 75

G(75) = -2(75)² + 120(75) - 80

G(75) = -2(5625) + 9000 - 80

G(75) = -11250 + 9000 - 80

G(75) = -2330

No hay ganancia para 75 articulos hay perdidas de 2330