Question

Las estafas piramidales son muy conocidas en la actualidad y tienen un mecanismo muy simple. Una persona, el estafador, promete a otra que dando un monto pequeño de dinero puede ganar mucho más, para ello debe invitar a 3 personas más que ganarán tanto como él, pero a su vez estas deben invitar a otras 3 más y así sucesivamente. Si este proceso se repite 8 veces, creciendo el total de personas con un nuevo grupo de futuros estafados, ¿cuántas personas forman el último grupo de estafados?

Answer 1

Han sido estafadas 2187 personas

Procedimiento:

Se trata de un problema de progresión geométrica

Una progresión geométrica es una sucesión en donde cada término se obtiene a partir del anterior multiplicándolo por una cantidad fija o constante llamada razón de la progresión.

La fórmula del término general es la siguiente

$\boxed { \bold { a_{n} = a_{1} \ . \ r^{n-1} }}$

Donde

$\boxed{ \bold { a_{n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to \ t\'ermino \ general}}$

$\boxed{ \bold { a_{1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to \ valor \ del \ primer\ t\'ermino }}$

$\boxed{ \bold { n \ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to \ n\'umero \ de \ t\'erminos }}$

$\boxed{ \bold { r \ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to \ raz\'on }}$

Solución    

Como mencionamos se trata de un ejercicio de progresión geométrica, dado que la persona inescrupulosa que a partir de aquí lo llamaremos "el estafador" le dice a la primera persona a embaucar que para entrar en el "negocio" en donde supuestamente va a ganar más dinero debe invitar a 3 personas más y luego cada persona debe invitar a otras tres personas distintas y así sucesivamente

Por lo tanto la razón (r) de la progresión geométrica es 3

Donde cada día se triplicará el número de las personas estafadas            

$\boxed { \bold{ r = 3 }}$  

Luego los términos siguientes se calcularán multiplicando el término anterior por 3, es decir por la razón de la progresión

Para eso debemos determinar antes el valor del primer término de la sucesión.

El cual para este caso es sencillo de determinar dado que el primer día en donde el estafador convence a una persona incauta de darle su dinero para ganar más formando parte de su artimaña y es en ese momento en donde le impone la condición de invitar a tres personas más, en donde a su vez estas invitarán a otras tres personas más y así sucesivamente.  

Siendo entonces que el primer día el estafador contacta a una sola persona para su negociado espurio

Pudiendo afirmar que el primer término de la progresión es 1  

$\boxed { \bold{ a_{1} = 1 }}$

Se puede observar el gráfico adjunto para comprender esta situación de estafa piramidal  

Con este razonamiento podemos decir que si el primer día estafa a una persona, al segundo día serán 3 los estafados, y luego al tercer día serán 9 las personas estafadas. De este modo se puede observar como se encuentran los términos de la sucesión

Siendo

$\boxed { \bold{ a_{1} = 1 }}$

$\boxed { \bold{ a_{2} = 1 \ . \ 3 \ = \ 3}}$

$\boxed { \bold{ a_{3} = 3 \ . \ 3 \ = \ 9}}$

Y así sucesivamente

Esto es a mero hecho explicativo de como se genera una progresión geométrica, Y no se trata de calcularla de este modo sino mediante la fórmula general    

Por último sabemos que el número de términos "n"  en esta progresión geométrica es 8, Ya que se nos pide hallar la cantidad de personas embaucadas por el estafador en un proceso que se repite 8 veces

$\boxed { \bold{ n = 8 }}$

Es fácil ver que la fórmula general reviste una enorme utilidad para estos casos. Pongamos por ejemplo que el estafador hubiese estado efectuando su engaño antes de ser descubierto en un plazo mayor,  los cálculos para determinar la cantidad de gente estafada serían muy engorrosos

Empleamos la fórmula para hallar el término general de una progresión geométrica

$\boxed { \bold { a_{n} = a_{1} \ . \ r^{n-1} }}$

Donde

$\boxed { \bold{ n = 8 }}$

$\boxed { \bold{ a_{1} = 1 }}$

$\boxed { \bold{ r = 3 }}$

Y reemplazamos en la fórmula

$\boxed { \bold { a_{n} = a_{1} \ . \ r^{n-1} }}$

$\boxed { \bold { a_{8} = 1 \ . \ 3^{8-1} }}$

$\boxed { \bold { a_{8} = 1 \ . \ 3^{7} }}$

$\boxed { \bold { a_{8} = 1 \ . \ 2187 }}$

$\boxed { \bold { a_{8} = 2187 }}$