Question

Las entradas para el concierto de música de las fiestas del pueblo de Rafael tienen dos precios
diferentes, según la zona (A y B). He comprado entradas para dos grupos de amigos: para un grupo, 4 de
la zona A y 3 de la zona B, por un importe de 58 €. Para el otro grupo, 3 de la zona A y 5 de la zona B, por
un importe de 71 €. ¿Cuál es la zona más cara y cuál es el precio de cada zona?

Answer 1

El precio de la entrada de la Zona A es de $ 7

Mientras que el precio de la entrada de la Zona B es de $ 10

Por tanto resulta más cara la Zona B

Solución

Para determinar cuál es el precio de la entrada para el concierto de música de cada zona, la zona A y la zona B:

Debemos establecer las ecuaciones que modelan la situación del problema basándonos en lo se ha abonado por las dos compras de entradas de distinta clase para los dos grupos de amigos

Y hallar con estas lo que cuesta la entrada para el concierto de música de la Zona A y cuanto se debe abonar por la entrada de la Zona B

Luego llamamos variable "x" a la entrada de la Zona A y variable "y" a la entrada de la zona B

Donde sabemos que:

Para uno de los grupos de amigos se compraron 4 entradas de la Zona A y 3 entradas de la Zona B pagando por estas $ 58

Y donde para el otro grupo de amigos se compraron 3 entradas de la Zona A y 5 entradas de la Zona B pagando por estas $ 71

Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Para la primera compra de entradas sumamos las entradas compradas de la Zona A y las entradas adquiridas de la Zona B para la primera ecuación y la igualamos a la cantidad abonada

$\large\boxed {\bold {4 x \ +\ 3y =58 }}$       $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

Luego hacemos el mismo procedimiento para la segunda compra de entradas para establecer la segunda ecuación

$\large\boxed {\bold {3x \ + \ 5y = 71 }}$       $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Luego

En  $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\large\boxed {\bold {4 x \ +\ 3y =58 }}$

Despejamos x

$\boxed {\bold {4 x = 58\ -\ 3y }}$

$\boxed {\bold { \frac{\not4x}{\not4} = \frac{58}{4} -\ \frac{3y}{4} }}$

$\large\boxed {\bold { x = \frac{29}{2} -\ \frac{3y}{4} }}$          $\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

$\large\boxed {\bold { x = \frac{29}{2} -\ \frac{3y}{4} }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }$

$\large\boxed {\bold {3x \ + \ 5y = 71 }}$

$\boxed {\bold {3 \ . \left(\frac{29}{2} -\frac{3y}{4} \right) \ +\ 5y = 71 }}$

$\boxed {\bold {\frac{87}{2} -\frac{9y}{4} \ +\ 5y = 71 }}$

$\boxed {\bold {\frac{87}{2} -\frac{9y}{4} \ +\ 5y\ . \ \frac{4}{4} = 71 }}$

$\boxed {\bold {\frac{87}{2} -\frac{9y}{4} \ +\ \frac{20y}{4} = 71 }}$

$\boxed {\bold {\frac{87}{2} \ +\ \frac{11y}{4} = 71 }}$

$\boxed {\bold { \frac{11y}{4} = 71 -\frac{87}{2} }}$

$\boxed {\bold { \frac{11y}{4} = 71\ . \ \frac{2}{2} -\frac{87}{2} }}$

$\boxed {\bold { \frac{11y}{4} = \frac{142}{2} -\frac{87}{2} }}$

$\boxed {\bold { \frac{11y}{4} = \frac{55}{2} }}$

$\boxed {\bold {\frac{\not4}{\not11} \ . \ \frac{\not11y}{\not4} =\frac{4}{11} \ . \ \frac{55}{2} }}$

$\boxed {\bold {y =\frac{4}{11} \ . \ \frac{55}{2} }}$

$\boxed {\bold {y =\frac{220}{22} }}$

$\large\boxed {\bold { y = 10 }}$

El precio de la entrada de la Zona B es de $ 10

Hallamos el precio de la entrada de la Zona A

Reemplazando el valor hallado de y en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold { x = \frac{29}{2} -\ \frac{3y}{4} }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{29}{2} -\ \frac{3 \ . \ 10}{4} }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{29}{2} -\ \frac{30}{4} }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{29}{2} -\ \frac{15}{2} }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{14}{2} }}$

$\large\boxed {\bold { x = 7 }}$

El precio de la entrada de la zona A es de $ 7

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\boxed {\bold {4 x \ +\ 3y =\ \ 58 }}$

$\boxed {\bold { 4 \ entradas\ de \ \ \ 7 \ +\ 3 \ entradas \ de \ \ \ 10 = \ \ 58 }}$

$\boxed {\bold {\ \ 28 \ + \ \ \ 30 = \ \ 58}}$

$\boxed {\bold {\ \ 58 = \ \ 58 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\boxed {\bold {3x \ + \ 5y = \ \ 71 }}$

$\boxed {\bold { 3 \ entradas\ de \ \ \ 7 \ +\ 5 \ entradas \ de \ \ \ 10 = \ \ 71 }}$

$\boxed {\bold {\ \ 21 \ + \ \ \ 50 = \ \ 71}}$

$\boxed {\bold {\ \ 71 = \ \ 71 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$