Question

Las ecuaciones de los lados de un triangulo son 5x-7y+27=0 9x-2y-15=0 y 4x+5y+11=0 hallar sus angulos y comprobar los resultados

Answer 1

Tema: Ángulo entre dos rectas

Primero, hemos de encontrar las debidas pendientes de las ecuaciones dadas:

$5x-7y+27=0\\-7y=-5x-27\\y=\frac{5}{7}x+\frac{27}{7}$

En este caso, el valor que acompaña a la $x$ será la pendiente, en este caso: $\frac{5}{7}$

$9x-2y-15=0\\-2y=-9x+15\\y=\frac{9}{2}x -\frac{15}{2}$

La pendiente será: $\frac{9}{2}$

$4x+5y+11=0\\5y=-4x-11\\y=-\frac{4}{5}x -\frac{11}{5}$

La pendiente será: $-\frac{4}{5}$

Ahora, empezaremos a analizar la imagen adjunta. primero encontramos el ángulo color Marrón, teniendo en cuenta que:

$m_{1}=\frac{5}{7}$ y $m_{2}=\frac{9}{2}$

Hemos de usar la siguiente fórmula: $Tan \alpha =\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}  }$

Sustituimos:

$Tan\alpha =\dfrac{\frac{9}{2} -\frac{5}{7} }{1+(\frac{5}{7} )(\frac{9}{2} )} \\\\Tan\alpha =\dfrac{\frac{63-10}{14} }{1+\frac{45}{14} } \\Tan\alpha =\dfrac{\frac{53}{\not 14} }{\frac{59}{\not 14} }\\\alpha =Tan^{-1} (\dfrac{53}{59}) \rightarrow \boxed{\alpha=41.9335 }$

Ahora, hagamos lo mismo con la flecha roja, teniendo en cuenta que:

$m_{1}=\frac{9}{2}$ y $m_{2}=-\frac{4}{5}$

Procedemos:

$Tan\alpha =\dfrac{-\frac{4}{5}-\frac{9}{2}  }{1+(\frac{9}{2} )(-\frac{4}{5} )}\\ Tan\alpha =\dfrac{\frac{-8-45}{10} }{1+\frac{-36}{10} } \\Tan\alpha =\dfrac{-\frac{53}{\not 10} }{-\frac{26}{\not 10} } \\\alpha =Tan^{-1} (\dfrac{53}{26}) \rightarrow \boxed{\alpha=63.8689 }$

Por último procedemos a encontrar el ángulo de la flecha azul, teniendo en cuenta que:

$m_{1}=-\frac{4}{5}$ y $m_{2}=\frac{5}{7}$

Procedemos:

$Tan\alpha =\dfrac{\frac{5}{7} +\frac{4}{5} }{1+(-\frac{4}{5} )(\frac{5}{7} )} \\Tan\alpha =\dfrac{\frac{25+28}{35} }{1-\frac{20}{35} } \\Tan\alpha =\dfrac{\frac{53}{\not 35} }{\frac{15}{\not 35} } \\\alpha =Tan^{-1}(\frac{53}{15} ) \rightarrow \boxed{\alpha=74.1974 }$

Recuerda que el resultado debe estar en grados(°)

Saludos!