Question

Las dimensiones de una caja rectangular están creciendo a los ritmos siguientes: lalongitud 3 metros por minuto, el ancho 2 metros por minuto y la altura 1/2 metro porminuto. Encontrar las razones de cambio del volumen y del área de la superficie de esacaja cuando la longitud, el ancho y la altura son, respectivamente, 10, 6 y 4 metros.

Answer 1

Solución: La razón de cambio del volumen es $V(t) = 240mts^{3}+182\frac{mts^{3}}{min} *t+43\frac{mts^{3}}{min^{2}} *t^{2}+ 3\frac{mts^{3}}{min^{3}} *t^{3}$ y la razon de cambio del area es: $A(t)= 248mts^{2} + 132\frac{mts^{2}}{min} *t+17\frac{mts^{2}}{min^{2}} *t^{2}$

Explicación:

El volumen de un prisma rectangular es: a*b*h, para a,b,c la longitud, el ancho y la altura respectivamente

El área de la superficie de un prisma rectangular se calcula mediante la suma del área los 6 rectángulos que forman su superficie, que es el doble la suma del área de los tres rectángulos diferentes, es decir: 2*(a*h+b*h+a*b)

La longitud "a" aumenta a 3 metros por minutos, Entonces la longitud en el tiempo t es la longitud inicial mas la variación por el tiempo transcurrido

$a(t)= 10mts+ 3\frac{mts}{min} *t$

El ancho "b" aumenta a 2 metros por minutos, Entonces el ancho en el tiempo t es el ancho inicial mas la variación por el tiempo transcurrido.

$b(t)= 6mts+ 2\frac{mts}{min} *t$

La altura "h" aumenta a 1/2 metros por minutos = 0.5 metros por minutos, Entonces la altura en el tiempo t es la altura inicial mas la variación por el tiempo transcurrido.

$h(t)= 4mts+ 0.5\frac{mts}{min} *t$

Ahora calculamos la razón de cambio de volumen V:

V(t) = $a(t)*b(t)*h(t)$

V(t) = $(10mts+ 3\frac{mts}{min} *t)*(6mts+ 2\frac{mts}{min} *t)*(4mts+ 0.5\frac{mts}{min} *t)$

$= (60mts^{2} +20\frac{mts^{2}}{min} *t+18\frac{mts^{2}}{min} *t+6\frac{mts^{2}}{min^{2}} *t^{2})*(4mts+ 0.5\frac{mts}{min} *t)$

$= (60mts^{2} +38\frac{mts^{2}}{min} *t+6\frac{mts^{2}}{min^{2}} *t^{2})*(4mts+ 0.5\frac{mts}{min} *t)$

$= 240mts^{3}+30\frac{mts^{3}}{min} *t+152\frac{mts^{3}}{min} *t+19\frac{mts^{3}}{min^{2}} *t^{2}+24\frac{mts^{3}}{min^{2}} *t^{2}+ 3\frac{mts^{3}}{min^{3}} *t^{3}$

$= 240mts^{3}+182\frac{mts^{3}}{min} *t+43\frac{mts^{3}}{min^{2}} *t^{2}+ 3\frac{mts^{3}}{min^{3}} *t^{3}$

Ahora la razón de cambo del área "A" sera:

$A(t) = 2*(a(t)*h(t)+b(t)*h(t)+a(t)*b(t))$

$A(t) = 2*((10mts+ 3\frac{mts}{min} *t)*(4mts+ 0.5\frac{mts}{min} *t)+(6mts+ 2\frac{mts}{min} *t)*(4mts+ 0.5\frac{mts}{min} *t)+(10mts+ 3\frac{mts}{min} *t)*(6mts+ 2\frac{mts}{min} *t))=$

$2*(40mts^{2} + 5 \frac{mts^{2}}{min} *t+ 12\frac{mts^{2}}{min} *t+1.5 \frac{mts^{2}}{min^{2}} *t^{2}) + \\\\2*(24mts^{2} + 3 \frac{mts^{2}}{min} *t+ 8\frac{mts^{2}}{min} *t+1 \frac{mts^{2}}{min^{2}} *t^{2}) +\\\\2*(60mts^{2} + 20 \frac{mts^{2}}{min} *t+ 18\frac{mts^{2}}{min} *t+6\frac{mts^{2}}{min^{2}} *t^{2})$

$= 248mts^{2} + 56 \frac{mts^{2}}{min} *t+ 76\frac{mts^{2}}{min} *t+17\frac{mts^{2}}{min^{2}} *t^{2}\\\\ = 248mts^{2} + 132\frac{mts^{2}}{min} *t+17\frac{mts^{2}}{min^{2}} *t^{2}$