Question

las diagonales de un rombo miden 8cm y 12cm, respectivamente. Calcula su perímetro y área. ¿Cuál es la abertura de sus ángulos?​

Answer 1

Respuesta:

Área: $48cm^{2}$

Perímetro: 28.84 cm

Ángulos:

112.6° y 66.84°

Explicación paso a paso:

Por fa te guías con la imagen adjunta, para seguir el paso a paso:

Tengamos presente que un rombo es un cuadrilátero que tiene sus 4 lados iguales.

La diagonal mayor, que denominaremos D, mide 12 cm

La diagonal menor, que denominaremos d, mide 8 cm

Para obtener el área, del rombo, aplicamos la fórmula que dice:

$A=\frac{D*d}{2}$

Reemplazamos con los valores que nos dan:

$A=\frac{12cm*8cm}{2}=\frac{96cm^{2}}{2}=48cm^{2}$

Tenemos la medida del área: $48cm^{2}$

Para calcular el perímetro tenemos en cuenta que las diagonales del rombo tienen la propiedad de ser perpendiculares entre sí, es decir, al cortarse, forman 4 ángulos rectos; además, las diagonales se bisecan mutuamente, lo cual significa que se cortan en sus respectivos puntos medios. (Un segmento mide igual al otro segmento)

Observa la imagen y mira como se formaron 4 triángulos rectángulos.

Al aplicar esas propiedades tenemos que los catetos de cada triángulo, miden: 6 cm el mayor y 4 cm el menor. Entonces para calcular el perímetro, necesitamos calcular el valor de las hipotenusas, pero como ya sabemos que son iguales, basta con calcular una de ellas, aplicando el teorema de Pitágoras:

$h^{2}=(6cm)^{2}+(4cm)^{2}\\h^{2}=36cm^{2}+16cm^{2}\\h^{2}=52cm^{2}\\h=\sqrt{52cm^{2}}\\h=7.21cm$

El perímetro será entonces 7.21cm*4 = 28.84 cm

Ahora nos ocuparemos de la abertura de los ángulos.

Tenemos 4 triángulos rectángulos y de cada uno de ellos conocemos todos sus lados. Buscamos la razón trigonométrica que sea más fácil de calcular. Si tenemos un ángulo α (color naranja) cuyo cateto opuesto mide 6 y cuyo cateto adyacente mide 4, aplicamos la razón tangente, mediante la cual dividimos el cateto opuesto entre el cateto adyacente:

$Tan\alpha=\frac{6}{4}\\Tan\alpha=1.5$

Pero tenemos que despejar el ángulo. Entonces calculamos ese ángulo aplicando la arco tangente o tangente a la menos uno.

$\alpha=Tan^{-1}1.5\\\alpha=56.30$

El mismo razonamiento anterior aplicamos para encontrar el ángulo $\beta$

$tan\beta=\frac{4}{6}\\tan\beta=0.66\\\beta=tan^{-1}0.66\\\beta=33.42$

Pero la suma de los dos ángulos alpha, (porque el triángulo de la izquierda es igual al de la derecha) dan la abertura del ángulo Y: 112.6°

y la suma de los dos ángulos beta, dan la abertura del ángulo X: 66.84°