Question

Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(12,1) ; B(2 ,1) y C(6,7). Hallar la ecuación de la recta, paralela al lado BC y que divide al triángulo, en dos partes de igual área.

Answer 1

Si dibujamos este triangulo veremos que tiene una basa horizontal en el lado AB que mide 10 unidades, también observamos que tiene una altura desde la base AB hasta el punto C de 6 unidades, por lo que el área del triangulo es,

$A=\frac{base*altura}{2}=\frac{AB*h}{2}=\frac{10*6}{2}=\frac{60}{2}=30$

Si una recta corta el triangulo de modo paralelo a uno de sus lados, en este caso del lado BC, esta formará un triangulo equivalente en su interior, es decir que las razones de sus lados correspondientes para cada par de lados correspondientes. Si deseamos tener un triangulo de la mitad del área, este triangulo equivalente más pequeño debe tener $\frac{1}{\sqrt{2}}$ de los lados que el triangulo original. En ese caso podemos tomar lo más fácil que sería la base que mide 10, así que la base del triangulo que queremos que tenga la mitad del área debe medir $\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$. Para ubicar un punto por el que debe pasar la recta podemos restar esta cantidad a la coordenada $x$ del punto A que es 12, así que la recta debe pasar por el punto ([tex]12-5 \sqrt{2}, 1[/tex]). Si la recta es paralela al lado BC, entonces su pendiente M es,

[tex]M=\frac{7-1}{6-2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}[/tex]

por lo que la ecuación de la recta debe ser,

[tex]f(x)=\frac{3}{2} x+a[/tex]

pero debe satisfacer,

$f(12-5\sqrt{2})=\frac{3}{2}(12-5\sqrt{2})+a=1$

así que,

$a=1-\frac{3}{2}(12-5\sqrt{2})$

Por lo tanto la recta es,

$f(x)=\frac{3}{2}x+1-\frac{3}{2}(12-5\sqrt{2})$