Question

Las botellas de vino nunca se llenan por completo: en el cuello con forma cilíndrica (diámetro interior d = 18.5 mm) de la botella de vidrio se deja un pequeño volumen de aire considerando el coeficiente de expansión térmica bastante grande del vino. La distancia H entre la superficie del contenido líquido y la parte inferior del corcho se llama “altura de la cámara de aire” (figura 17-21) y por lo general es H = 1.5 cm para una botella de 750 mL llena a 20°C. Debido a su contenido alcohólico, el coeficiente de expansión volumétrica del vino es aproximadamente el doble del coeficiente del agua; en comparación, la expansión térmica del vidrio se puede despreciar. Estime H si la botella se mantiene a) a 10°C, b) a 30°C.

Answer 1

Si consideramos un cilindro perfecto el cuello de la botella, despreciamos la dilatación del vidrio y asumimos un coeficiente de expansión volumétrica del vino como:

$\beta=4,2x10^{-4}\frac{1}{K}$

Tenemos para distintas temperaturas:

a) Sabemos que a 20°C el volumen del vino es 750ml, a 10°C el volumen sufre una merma de:

$\Delta V=\beta.\Delta T=750ml.4,2x10^{-4}\frac{1}{K}.(10K-20K)=3,15ml=3150mm^3$

Si suponemos que el nivel del vino no baja más allá del cuello, esa disminución del volumen del vino redunda en un incremento de la altura de la cámara de aire:

$\Delta V=\pi\frac{d^2}{4}\Delta h\\\\\delta h=\frac{4\Delta V}{\pi d^2}=11,7mm\\h(10\°C)=h(20\°C)+\Delta h=15mm+11,7mm=26,7mm$

Con lo que a 10°C queda un espacio de 26,7mm de altura entre el nivel del vino y el corcho.

b) A 30°C el volumen del vino va a aumentar, el incremento será:

$\Delta V=\beta.\Delta T=750ml.4,2x10^{-4}\frac{1}{K}.(30K-20K)=3,15ml=3150mm^3$

Esto redunda en una disminución de la altura de la cámara de aire:

$\Delta V=\pi\frac{d^2}{4}\Delta h\\\\\delta h=\frac{4\Delta V}{\pi d^2}=11,7mm\\\\h(30\°C)=h(20\°C)-\Delta h=15mm-11,7mm=3,3mm$

Con lo cual a 30°C queda un espacio entre el nivel del vino y el corcho de 3,3mm.