Question

La vida útil de las pilas de determinada marca se distribuye normalmente. Si el 6,68% de las pilas dura más de 56 horas y el 30,85% dura menos de 52 horas, ¿cuál el promedio de duración y la correspondiente varianza de esta duración?

Answer 1

Las pilas de esta marca tienen una vida útil en promedio de 53 horas con una varianza de 4 horas.

Explicación:

Si la vida útil de las pilas se distribuye normalmente, en las tablas de distribución normal nos manejamos con una variable normalizada z y los valores tabulados son la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que el z con que entramos. Nos queda:

P(X>56)=0,0668=> P(X≤56)=1-0,0668=0,9332

Valor que en las tablas de distribución normal corresponde a z=1,5.

Por otro lado tenemos:

P(x<52)=0,3085

Lo que equivale en las tablas de distribución normal a un z=-0,5.

Ahora la ecuación con la que se obtiene z, siendo σ la desviación estándar, X el valor de la variable aleatoria y μ la esperanza es:

$z=\frac{X-\mu}{\sigma}$

Si para los dos casos el valor de la variable aleatoria lo conocemos, quedan como dos incógnitas la esperanza y el desvío estánder:

$\sigma.z=X-\mu\\\\1,5\sigma=56-\mu\\-0,5\sigma=52-\mu\\\\1,5\sigma+\mu=56\\-0,5\sigma+\mu=52$

Nos queda resolver el sistema de ecuaciones, si restamos la segunda ecuación a la primera queda:

$1,5\sigma-(-0,5)\sigma+\mu-\mu=56-52\\2\sigma=4\\\sigma=2$

Ahora si multiplicamos la segunda ecuación por 3 y las sumamos entre sí:

$1,5\sigma+\mu=56\\-1,5\sigma+3\mu=156\\\\1,5\mu-1,5\mu+\mu+3\mu=56+156\\4\mu=212\\\mu=53$

La varianza es el cuadrado de la desviación estándar:

$\sigma^2=2^2=4$