Question

La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es 10 años con una desviación estándar de dos años. El fabricante reemplaza gratis todos los motores que fallen dentro del tiempo de garantía. Si está dispuesto a reemplazar sólo 3% de los motores que fallan, ¿de qué duración debe ser la garantía que ofrezca? Suponga que la duración de un motor sigue una distribución normal.

Answer 1

Datos:

μ = 10 años
σ = 2 años
P(X) = 0,03
Z = -1,89 Valor obtenido de la Tabla de distribución Normal

Distribución Normal
¿de qué duración debe ser la garantía que ofrezca? 
X = ?

Z = X -μ /σ
σ*Z +μ = X
X = 2 años * -1,89 + 10 años
X = 6,22 años

La garantía que el fabricante debe ofrecer es de 6 años para que no fallen durante este tiempo los motores 

Answer 2

Para reemplazar solo el  3%  de los motores, el fabricante debe ofrecer una garantía de  6,24 años o menos.

Explicación:

Para hallar probabilidades asociadas a la distribución normal se usa una tabla de probabilidades acumuladas calculadas como áreas bajo la curva normal estándar (z).

Si definimos la variable aleatoria con distribución normal:

x  =  vida promedio de cierto tipo de motor pequeño

Su estandarización para calcular probabilidades en la tabla estándar es:

 

$\bold{z~=~\dfrac{x~-~\mu}{\sigma}}$

siendo  μ  y  σ  la media y la desviación estándar poblacionales, respectivamente

En la tabla se obtienen probabilidades acumuladas hasta el valor en estudio, y se denotan:

$\bold{P(x~<~a)~=~P(z~<~\dfrac{a~-~\mu}{\sigma})}$

Se conoce que el fabricante está dispuesto a reemplazar hasta el  3% de los motores; es decir, trabajamos con una probabilidad de 0,03 o menos:

P(x  <  a)  =  0,03

$\bold{P(x~<~a)~=~P(z~<~\dfrac{a~-~10}{2})~=~0,03}$

El valor de z asociado en la tabla es:     z  =  -1,88;      por lo tanto

$\bold{\dfrac{a~-~10}{2}~=~-1,88\qquad\Rightarrow\qquad a~=~(-1,88)(2)~+~10~=~6,24}$

Para reemplazar solo el  3%  de los motores, el fabricante debe ofrecer una garantía de  6,24 años o menos.

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