La velocidad v de un paracaidista en caída libre está bien modelada por la ecuación diferencial metro dv dt = mg - kv2, donde m es la masa del paracaidista, g es la constante gravitacional y k es la resistencia coeficiente determinado por la posición del buceador durante la inmersión. (tenga en cuenta que la las constantes m, g y k son positivas.) (a) realizar un análisis cualitativo de este modelo. (b) calcule la velocidad terminal del paracaidista. expresa tu respuesta en términos de m, gy k.
Respuestas a la pregunta
La aceleración es la derivada de la posición respecto del tiempo
a = dv/dt = m g - k v²
La aceleración disminuye a medida que aumenta la velocidad.
Cuando la aceleración se anula la velocidad se mantiene constante.
A esta velocidad se la conoce velocidad terminal.
b) a = 0 = m g - k V²
V = √(m g / k) es la velocidad terminal
a) Podemos hallar la velocidad en función del tiempo
dv/dt = m g - k v²
Luego dt = ∫[dv / (m g - k v²)
Para t = 0 es v = 0.
Supongo que sabes integrar. Utilizo un procesador matemático simbólico (Derive versión 5)
t = - 1 / [2 √(m g k)] . LN [√k . v - √(m g)] / [√k . v - √(m g)]
Esta relación es el tiempo en función de la velocidad.
Debemos despejar v de esa relación.
v = √(m g / k) . [(eᵇ - 1) / (eᵇ + 1)]
Siendo b = 2 √(m g k) . t
Recordemos que √(m g / k) es la velocidad terminal.
Observemos que si t tiende a infinito, (eᵇ - 1) / (eᵇ + 1) tiende a 1 y v se hace igual a la velocidad terminal.
Saludos Herminio