Question

La velocidad de escape de una partícula en un cuerpo celeste con masa 5,359,323.31 en kg es la mínima velocidad que debe tener en la superficie terrestre para que la partícula pueda escapar del campo gravitatorio terrestre. Con la constante de gravitación universal de Newton (para este caso asume que la constante de gravitación es 0.667 N* / ) y el radio 5,434.9 en kilómetros como ayuda en los cálculos. Si se desprecia la resistencia de la atmósfera y el sistema es conservativo. A partir del teorema de conservación de la suma de las energías cinética y potencial, demuestra que la velocidad de escape para cualquier cuerpo celeste, ignorando la presencia de la luna es de?

Answer 1

La velocidad de escape de este astro es de 11,2 km por segundo.

Explicación:

Podemos analizar la velocidad de escape de un cuerpo celeste cualquiera desde el punto de vista del teorema de la Conservación de la Energía, considerando al astro como un pozo de energía potencial gravitatoria.

La energía cinética que exceda a la de ese pozo de energía potencial será la correspondiente a la velocidad de escape. Tenemos:

$E_p=E_c\\\\\int\limits^{\infty}_R {F} \, dr =\frac{1}{2}mv^2$

Donde R es el radio del astro, y el primer miembro expresa el trabajo que hace la fuerza gravitatoria del astro de masa M para atraer desde el infinito a la partícula de masa m hasta su superficie. La velocidad del segundo miembro es la de escape:

$GMm\int\limits^{\infty}_R {} \, \frac{dr}{r^2} =\frac{1}{2}mv^2\\\\GM\int\limits^{\infty}_R {} \, \frac{dr}{r^2} =\frac{1}{2}v^2\\\\\frac{GM}{R}=\frac{1}{2}v^2$

De esta expresión despejamos la velocidad de escape:

$\frac{GM}{R}=\frac{1}{2}v^2\\\\v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$

Reemplazando por los datos conocidos de la Tierra ($M=5,97x10^{24}kg$ y R=6378km) tenemos:

$M=5,97x10^{24}kg\\R=6,378x10^{6}m\\\\v=\sqrt{\frac{2.6,67x10^{-11}.5,97x10^{24}}{6,378x10^{6}}}=\\\\v=11174\frac{m}{s}$

Valor muy bajo debido a que los valores de masa y radio informados del cuerpo celeste no son los típicos de un cuerpo astronómico.

Answer 2

La velocidad de escape de un cuerpo desde la superficie terrestre, sin considerar fricción con el aire, es V = √(2 G M / R)

De la ley de atracción: g = G M / R² la aceleración en la superficie terrestre.

Entonces g R = G M / R; de modo que:

Ve = √(2 g R); R ≅ 6370 km = 6,37 . 10⁶ m

Ve = √(2 . 9,80 m/s² . 6,37 . 10⁶ m) ≅ 1,12 . 10⁴ m/s ≅ 40200 km/h

Saludos Herminio.