Question

La velocidad angular de una turbina disminuye uniformemente de 1000 r.p.m a 700 rpm
en 15 s. Si el radio de curvatura es de 8cm, determinar la velocidad lineal y la aceleración
angular​

Answer 1

Para la turbina que gira uniformemente, los valores de la velocidad lineal y la aceleración  angular​ son respectivamente : V=7.1204 m/seg ; α = -2.094 rad/seg.

La velocidad lineal o tangencial es el producto de la velocidad angular por el radio : V = w*R  y la aceleración angular es : α = ( wf -wo)/t, ahora se procede a calcular sus valores, como se muestra a continuación :

  wo= 1000rpm = 1000 rev/min* 1min/60seg *2π rad/1 rev = 104.71rad/seg

  wf = 700rpm = 700 rev/min* 1min/60seg *2π rad/1 rev = 73.30 rad/seg

   t = 15 seg

    R = 8 cm = 0.08 m

    V =?

    α =?

   w = ( wo+wf )/2 = ( 104.71rad/seg+73.30 rad/seg )/2 = 89.005 rad/seg

   V = w*R = 89.005 rad/seg *0.08 m = 7.1204 m/seg

   

   La aceleración angular es :

     α = ( wf -wo)/t

    α = ( 73.30 rad/seg -104.71rad/seg)/15 seg

   α = -2.094 rad/seg

Answer 2

La velocidad lineal inicial de la turbina es de aproximadamente 8.375 m/s, decreciendo a aproximadamente 5.864 m/s para un tiempo de 15 segundos

La aceleración angular es de aproximadamente -2.094 rad/s²

Se trata de un problema de movimiento circular uniformemente variado

Solución

La turbina cambia su frecuencia angular de 1000 r.p.m. a 700 r.p.m.. Por tanto la velocidad angular decrece según transcurre el tiempo

Por tanto la aceleración sólo puede ser negativa debido a que el cuerpo está desacelerando

Convertimos las velocidades angulares de revoluciones por minuto a radianes por segundo

Sabemos que la velocidad angular inicial de la partícula es de 1000 r.p.m. y que la velocidad angular final es de 700 r.p.m.

Sabiendo que una circunferencia completa equivale a 2π radianes

Y que en 1 minuto se tienen 60 segundos

Donde    

$\bold { \omega_{0} } \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad Angular Inicial }$

$\bold { \omega_{f} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad Angular Final }$ 

$\boxed {\bold { \omega_{0} = 1000 \ \frac{\not rev}{\not min} \ . \ \left(\frac{2 \ \pi }{1 \ \not rev}\right) \ . \ \left(\frac{1 \ \not min }{60 \ s}\right) = \frac{1000 \ \ 2\pi }{60} \ \frac{rad}{s} }}$

$\boxed {\bold { \omega_{0} = \frac{1000 \ 2\ \pi }{60} \ \frac{rad}{s} = \frac{\not 20 \ 50 \ 2 \ \pi }{\not 20 \ . \ 3} \ \frac{rad}{s} }}$

$\large\boxed {\bold { \omega_{0} =\frac{100}{3} \ \pi \ \frac{rad}{s} }}$

La velocidad angular inicial es de 100/3 π rad/s

$\boxed {\bold { \omega_{f} = 700 \ \frac{\not rev}{\not min} \ . \ \left(\frac{2 \ \pi }{1 \ \not rev}\right) \ . \ \left(\frac{1 \ \not min }{60 \ s}\right) = \frac{700 \ \ 2\pi }{60} \ \frac{rad}{s} }}$

$\boxed {\bold { \omega_{f} = \frac{700 \ 2\ \pi }{60} \ \frac{rad}{s} = \frac{\not 20 \ 35 \ 2 \ \pi }{\not 20 \ 3} \ \frac{rad}{s} }}$

$\large\boxed {\bold { \omega_{f} =\frac{70}{3} \ \pi \ \frac{rad}{s} }}$

La velocidad angular final es de 70/3 π rad/s

Determinamos la velocidad lineal o tangencial

La relación de la velocidad lineal con la velocidad angular está dada por

$\large\boxed {\bold { V = \omega \ . \ r}}$

Donde    

$\bold { V } \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad Lineal }$

$\bold { \omega} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad Angular }$ 

$\bold { r} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{radio }$

Donde hallaremos la velocidad lineal al inicio del movimiento (para 1000 r.p.m.) y la velocidad lineal final, hasta donde disminuye su velocidad angular (para 700 r.p.m) en un tiempo de 15 segundos

Nótese que esa velocidad final no indica que la turbina se detuvo completamente,  sólo disminuyó su velocidad

Si el radio de curvatura es de 8 centímetros luego

$\bold {8 \ cm = 0.08 \ m }$

Velocidad lineal inicial

$\large\boxed {\bold { V = \omega_{0} \ . \ r}}$

$\boxed {\bold { V =\frac{100}{3} \ \pi \ \frac{rad}{s} \ . \ 0.08 \ m }}$

$\boxed {\bold { V =\frac{100\ \pi }{3} \ \frac{rad}{s} \ . \ 0.08 \ m }}$

$\boxed {\bold { V =\frac{100\ \pi \ . \ 0.08 }{3} \ \frac{m}{s} }}$

$\boxed {\bold { V =\frac{8\ \pi }{3} \ \frac{m}{s} }}$

$\large\boxed {\bold { V \approx8.375 \ \frac{m}{s} }}$

La velocidad lineal inicial es de aproximadamente 8.375 m/s

Velocidad lineal para la disminución de velocidad

$\large\boxed {\bold { V = \omega_{f} \ . \ r}}$

$\boxed {\bold { V =\frac{70}{3} \ \pi \ \frac{rad}{s} \ . \ 0.08 \ m }}$

$\boxed {\bold { V =\frac{70\ \pi }{3} \ \frac{rad}{s} \ . \ 0.08 \ m }}$

$\boxed {\bold { V =\frac{70\ \pi \ . \ 0.08 }{3} \ \frac{m}{s} }}$

$\boxed {\bold { V =\frac{5.6\ \pi }{3} \ \frac{m}{s} }}$

$\large\boxed {\bold { V \approx5.864 \ \frac{m}{s} }}$

La velocidad lineal final para cuando la turbina disminuye su movimiento es de aproximadamente 5.864 m/s

Hallamos la aceleración angular

Empleamos la siguiente ecuación

$\large\boxed{\bold{\alpha=\dfrac{\omega_{f} -\omega_0}{t}}}$

Donde    

$\bold { \alpha } \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Aceleraci\'on }$

$\bold { \omega_{0} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad Angular Inicial }$

$\bold { \omega_{f} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Velocidad Angular Final }$ 

$\bold { t }\ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Tiempo transcurrido}$

$\large\boxed{\bold{\alpha =\dfrac{ \frac{70 }{3} \ \pi \ \frac{rad}{s} -\ \frac{100}{3} \ \pi \ \frac{rad}{s} }{ 15 \ s } }}$

$\large\boxed{\bold{\alpha =\dfrac{ - \frac{30 }{3} \ \pi \ \frac{ rad}{s} }{ 15 \ s } }}$

$\large\boxed{\bold{\alpha =\dfrac{ - \frac{30 }{3} \ \pi }{ 15 } \ \frac{rad}{s^{2} } }}$

$\boxed{\bold{\alpha =\dfrac{ - 10 \ \pi }{ 15 } \ \frac{rad}{s^{2} } }}$

$\boxed{\bold{\alpha =-\dfrac{ 2\ \pi }{ 3 } \ \frac{rad}{s^{2} } }}$

$\large\boxed{\bold{\alpha \approx -2.094\ \frac{rad}{s^{2} } }}$

La aceleración angular es de aproximadamente -2.094 rad/s²