La velocidad a la que se desplaza un auto deportivo entre las 0 y 4 horas de recorrido se representa con la expresión.
v(t)=50+8t^2+t
Donde t es el tiempo en horas y v(t) es a velocidad en cientos de kilómetros/hora.
Hallar en qué momento del intervalo [0,4]circula a la velocidad máxima, calcular dicha velocidad y la aceleración en ese instante. ¿Se detuvo alguna vez? ¿En qué instante?
Respuestas a la pregunta
6. Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresión v(x)= (2-x).ex, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en que momento del intervalo circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. ¿En que periodos gano velocidad y en cuales redujo? ¿Se detuvo alguna vez?
SOLUCIÓN
Nos piden q estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el máximo de la función velocidad v.
Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada da positiva la función crece y si da negativa decrece. También sabemos que, la función tiene un máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0 (condición necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer a decrecer)
La derivada es:
v’(x)=-1.ex + ex.(2-x)= -ex + 2 ex- x .ex = ex- x. ex, sacando factor común ex se llega a: v’(x)=((1-x)ex
Igualando a 0 nos da (1-x).ex =0, de donde 1-x =0 y por tanto x =1, (ya q ex nunca puede ser cero)
Estudiamos v en los alrededores de 1
v ‘ + 1 - 2
y crece decrece
Por lo tanto en x=1 hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en el extremo:
v(x)= (2-x)ex
v(1)=(2-1).e = e (aquí el máximo como justificamos antes)
v(0)=(2-0).1=2
v(2)=(2-2).1=0 como da la velocidad 0 aquí se detuvo.
LA GRÁFICA:(No es necesaria la gráfica solo la pongo para ayudar a entender lo que se hace, vemos que pasa justo lo que hemos deducido entre 0 y 2)
7. La cantidad de agua recogida en 2002 (en millones de litros), en cierto pantano, como función del instante de tiempo t (en meses), viene dada a través de la expresión
Se pide:
a) En que periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida?
b) En que instante se obtuvo la cantidad máxima de agua?
c) Cual fue esa cantidad máxima?
Solución
Teniendo en cuenta la regla de derivación de un cociente:
Si , su derivada es f’(t)=
Y si queremos que sea cero, tiene que ser cero el numerador, de donde t =6
Señalamos el punto 6 en la recta y estudiamos el crecimiento de la función, f, entre 0 y 12 (viendo el signo del numerador solo, pues el denominador siempre es positivo)
0 6 12
f ’ + -
Crece hasta el 6 y decrece desde el 6
Por lo tanto en 6 tiene un máximo relativo, que en este caso es absoluto (pues en el infinito da 0) y se tiene:
a) la cantidad aumenta en el periodo de 0 a 6
b) en t =6
c) f(6)=10/1=10NOTA IMPORTANTE: EN ESTE TIPO DE PROBLEMAS CASI NUNCA ES ACONSEJABLE DESARROLLAR EL DENOMINADOR.
8. La suma de dos números no negativos es 36. Halla dichos números para que:
a) La suma de sus cuadrados sea lo mas pequeña posible
b) La suma de sus raíces cuadradas sea lo mas grande posible
Solución
Sea x e y dichos números, se tiene x + y = 36, de donde y = 36-x
a) Definimos f(x, y)= x2+ y2, como y= 36 –x, podemos sustituir en f con lo q dependerá solo de una variable, f(x) = x2+(36-x)2, y podremos aplicar la condición necesaria de extremo para funciones derivables.
Derivando:
f’(x) = 2x-2(36-x), de donde f’(x) = 4x-72
Para que f tenga un mínimo la derivada debe darnos 0, por lo que 4x-72=0 y despejando x= 18
f es continua en el intervalo [0, 36], y f(0)=f(36)=(36)2>f(18)=2.(18)2 por lo tanto en x=18 tiene el mínimo absoluto.
La gráfica es:Observación: Otra forma de justificar que el mínimo es absoluto, es diciendo que la función f es cuadrática. Por lo tanto en la abscisa del vértice se alcanza su mínimo (a>0) que es el punto de tangente horizontal.
b) Teniendo en cuenta que y= 36 –x, tenemos h(x)= , derivando:
, h’(x)=0, elevando al cuadrado ambos miembros y operando se llega a que x=18.
La función h está definida en el intervalo [0, 36], luego el máximo lo tendrá en 18 pues:
f(18)= , y f(0=f(36)=6 (Observa que el menor valor posible lo alcanza en 0 y 36)(Observar que no es necesario calcular la derivada segunda para el cálculo de los extremos absolutos, se aplica el teorema de Bolzano-Weierstrass que dice: “toda función continua definida en un intervalo cerrado alcanza su máximo y su mínimo”)