La utilidad mensual en miles de dólares de una compañía se expresa mediante la ecuación u(x)=-2x^2+20x-15, donde "x" representa el número de artículos, en cientos, que se producen y venden en un mes. Determina la cantidad de artículos que la compañía debe producir y vender en un mes para que la utilidad sea máxima y determina también el monto de la utilidad máxima.
Respuestas a la pregunta
La cantidad de artículos que la compañía debe producir y vender en un mes pueda obtener la utilidad máxima, es:
5
El monto de la utilidad máxima que obtiene la compañía es:
35 mil dólares
¿Qué es la utilidad?
La ganancia o utilidad se define como la diferencia entre los ingresos y los costos.
U = I - C
Siendo;
- Los ingresos son el producto del precio de la venta de un producto por la cantidad vendida.
I = p × q
- Los costos son el precio de producir cada producto por la cantidad de productos. El costo puede ser la suma de costos variables y fijos.
C = Cf + Cv
¿Cómo obtener máximos y mínimos?
Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
- Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.
¿Cuál es la compañía debe producir y vender en un mes para que la utilidad sea máxima y determina también el monto de la utilidad máxima.?
Siendo;
U(x) = - 2x² + 20x - 15
Aplicar primera derivada;
U'(x) = d/dx[- 2x² + 20x - 15]
U'(x) = -4x + 20
Aplicar segunda derivada;
U''(x) = d/dx(- 4x + 20)
U''(x) = - 4 ⇒ Máximo relativo
Igualar U'(x) a cero;
- 4x + 20 = 0
4x = 20
x = 20/4
x = 5
Evaluar x = 5 en U(x);
U(max) = - 2(5)² + 20(5) - 15
U(max) = 35 mil dólares
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