La utilidad diaria de la venta de árboles para el departamento de jardinería de un almacén está dada por P(X) = - x² + 18x +144, en donde "x" es el número de árboles vendidos. Determine el vértice y las intersecciones con los ejes de la función, y haga una gráfica de esta función.
Respuestas a la pregunta
Determinamos los valores de interés para graficar la curva de la utilidad diaria de la venta de árboles.
Para resolver este problema seguimos el siguiente procedimiento:
- Determinamos el vértice de la ecuación simple.
- Determinamos las intersecciones.
- Graficamos la parábola.
A continuación explicamos el procedimiento.
- Paso 1: determinación del vértice.
La ecuación de la parábola en su forma simple viene dada por:
P(x) = a*x^2 + b*x +c
P(x) = -1*x^2 + 18*x +144
Por inspección determinamos los coeficientes:
a = -1
b = 18
c = 144
El vértice se obtiene primero determinando el valor de x:
x = -b/2a
x = -18/(2* -1)
x = 9
Sustituimos el valor de x y determinamos el punto de las coordenadas:
P(9) = -1*9^2 + 18*9 +144
P(9) = 225
El vértice es el punto:
V(9,225)
- Paso 2: Determinación de las intersecciones:
Las intersecciones con el eje x se determinan igualando la ecuación de la parábola a cero:
-1*x^2 + 18*x +144 = 0
La solución es:
X1 = -6
X2 = 24
La intersección con el eje y se obtiene sustituyendo x=0:
P(0) = -1*0^2 + 18*0 +144
y = 144
- Paso 3: Gráfica de la parábola:
Como el coeficiente que multiplica a x^2 es negativo, la parábola abre hacia abajo y el vértice es el punto más bajo. Con este valor y con las intersecciones se grafica la curva como se muestra en la figura.
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El vértice de la parábola es (18, 144) y los puntos de cortes son (0, 144) y (24,0) donde hay otro punto de corte que no se considera pues x es negativo
¿Cómo determinar el vértice de la parábola descrita?
El vértice de la parábola ax² + bx + c = 0, esta dado por el valor de x tal que:
x = -b/2a
Cálculo del vértice de la función de utilidad
Entonce sis tenemos que la función es -x² + 18x +144, tenemos que a = -1, b = 18 y c = 144, por lo tanto el vértice es:
x = -18/-1 = 18
Calculamos el valor de "y":
-(18)² + 18*18 + 144 = 144
El vértice es: (18,144)
Calculo de los puntos de intersección con los ejes
- Punto de intersección eje y: entonces hacemos x = 0, si x = 0, entonces y = -0² + 18*0 + 144 = 144, entonces el punto de intersección es (0,144)
- Punto de intersección eje x: entonces hacemos y = 0, tenemos que -x² + 18x + 144 = 0 ⇒ x² - 18x - 144 = 0 (x - 24)(x + 6), entonces x = 24, tenemos que x no puede ser negativo pues x es una cantidad, por lo tanto el punto ce corte es (24,0)
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