Question

La utilidad de una empresa está modelada por la siguiente ecuación: U = - 0,5x2 +20x - 100, donde x es la cantidad producida y vendida.

a) Grafique la ecuación de utilidad en un plano cartesiano e indique su vértice. (3 puntos)

b) Indique la Utilidad máxima y la cantidad que maximiza la utilidad. (1 punto)

Answer 1

Partiendo de la ecuación de la utilidad de una empresa se obtiene:

a) La gráfica de la utilidad se puede ver en la imagen adjunta.

b) La utilidad máxima que puede obtener la empresa es:

   $100

   La cantidad de unidades que maximiza la utilidad es:

   20

¿Qué es la utilidad?

La ganancia o utilidad se define como la diferencia entre los ingresos y los costos.

U = I - C

Siendo;

• Los ingresos son el producto del precio de la venta de un producto por la cantidad vendida.

        I = p × q

• Los costos son el precio de producir cada producto por la cantidad de productos. El costo puede ser la suma de costos variables y fijos.

        C = Cf + Cv

¿Cómo obtener máximos y mínimos?

Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.

Criterio de la segunda derivada:

• Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
• Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.

b) ¿Cuál es la utilidad máxima y las unidades que la maximizan?

Aplicar primera derivada;

U'(x) = d/dx(-0.5x² + 20x - 100)

U'(x) = -x + 20

Aplicar segunda derivada;

U''(x) = d/dx(-x + 20)

U''(x) = - 1  ⇒ Máximo relativo

Igualar a cero a primera derivada;

-x + 20 = 0

x = 20

Evaluar x = 20 en U(x);

Umax = -0.5(20)² + 20(20) - 100

Umax = 100

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