Question

La trayectoria que realiza un Dron es una línea recta cuya ecuación
vectorial está dada por:

L: (x;y; z) = (2; 5; 10) + (-1; 3; 5)

Si los puntos P y Q equidistan (tienen la misma distancia) a la
trayectoria del Dron ¿Cuál es el valor de "a", si las coordenadas del
punto P y Q son: P = (2;a+5; 10) y Q-(4;-1; 6)?

O a.5.72 (aprox) O b.7.72 (aprox) 3,72 (aprox) Od.1.72 (aprox)

Answer 1

El valor de 'a' es aproximadamente c) 3,72.

Explicación paso a paso:

La trayectoria del dron es una recta en el espacio tridimensional, por lo que si los puntos P y Q son equidistantes de esta recta, podemos comenzar hallando la distancia entre Q y la recta, llamando R a un punto de la recta (por ejemplo R(2,5,10)), comenzamos tomando un vector QR:

$\vec{QR}=(4-2,-1-5,6-10)=(2,-6,-4)$

Si v es el vector director de la recta, la distancia es:

$d_q=\frac{||\vec{QR}\times \vec{v}||}{||\vec{v}||}\\\\\vec{QR}\times \vec{v}=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&-6&-4\\-1&3&5\end{array}\right] =i(-6.5-3(-4))-j(2.5-(-1)(-4))+k(2.3-(-1)(-6))\\\\\vec{QR}\times \vec{v}=(-18,-6,0)$

Y la distancia es:

$d_Q=\frac{||(-18,-6,0)||}{||(-1,3,5)||}=\frac{\sqrt{(-18)^2+(-6)^2+0^2}}{\sqrt{(-1)^2+3^2+5^2}}\\\\d_Q=\frac{\sqrt{360}}{\sqrt{35}}$

También podemos definir el vector PR:

$\vec{PR}=(2-2,a+5-5,10-10)=(0,a,0)$

El producto vectorial entre PR y el vector director v es:

$\vec{PR}\times \vec{v}=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\0&a&0\\-1&3&5\end{array}\right] =i(a.5-3.0)-j(0.5-(-1).0)+k(0.3-(-1).a)\\\\\vec{PR}\times \vec{v}=(5a,0,a)$

Y como la distancia entre P y la recta tiene que ser $\frac{\sqrt{360}}{\sqrt{35}}$ tiene que ser:

$d_q=\frac{||\vec{QR}\times \vec{v}||}{||\vec{v}||}=\frac{||(5a,0,a)||}{||(-1,3,5)||}=\frac{||\sqrt{(5a)^2+a^2}||}{||\sqrt{(-1)^2+3^2+5^2}||}\\\\d_q=\frac{\sqrt{26a^2}}{\sqrt{35}}=\frac{\sqrt{360}}{\sqrt{35}}\\\\\sqrt{26a^2}=\sqrt{360}\\\\a=\frac{\sqrt{360}}{\sqrt{26}}=3,72$