La suma del segundo y cuarto termino de una sucesión aritmética es 48. La suma del tercero y quinto termino es 58. Halla el primer término, la diferencia y la suma de los primeros 50 términos de la sucesión.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Primer término A1 = 14
Diferencia d = 5
Suma de los 50 primeros términos = 6825
Explicación paso a paso:
Una progresión es aritmética cuando cada término es la suma del término anterior más un número constante, al que llamamos diferencia y denotamos por d.
En las progresiones aritméticas se cumple la fórmula adjunta, de manera que:
A2 = A1 + (2- 1) d = A1 + d
A3 = A1 + (3-1) d = A1 + 2d
A4 = A1 + (4-1) d = A1 + 3d
A5 = A1 + (5-1) d = A1 + 4d
En tu enunciado te indican que el segundo y el cuarto término es 48, es decir:
A2 + A4 = 48
A1 + d + A1 + 3d = 48
2A1 + 4d = 48
Y además te indican que el tercer y el quinto término es 58, es decir:
A3 + A5 = 58
A1 + 2d + A1 + 4d = 58
2A1 + 6d = 58
Tienes un sistema de 2 cuaciones con 2 incógnitas. Voy a resolverlo restando a una ecuación la otra para eliminar la incógnita A1 y despejar el valor de d:
2A1 + 6d - (2A1 + 4d) = 58 - 48
2A1 + 6d - 2A1 - 4d = 10
2d = 10
d = 10/2 = 5
Una vez que sabes el valor de la diferencia, lo sustituyes en cualquiera de las ecuaciones del sistema para calcular el primer término:
2A1 + 4d = 48
2A1 + 4×5 = 48
2A1 + 20 = 48
2A1 = 48 - 20
2A1 = 28
A1 = 28/2 = 14
De manera que la progresión es:
14, 19, 24, 29, 34...
La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética se calcula con la fórmula:
Sn = n (A1 + An) / 2
S50 = 50 (A1 + A50) / 2
Para poder obtener la suma, primero calculas A50:
A50 = A1 + (50 - 1) d
A50 = 14 + 49×5 = 14 + 245 = 259
Una vez que tienes el valor del término 50 de la progresión, puedes resolver la fórmula de la suma:
S50 = 50 (14 + 259) / 2
S50 = 50×273 / 2
S50 = 13650 / 2
S50 = 6825
