La suma del diámetro de la circunferencia inscrita con el diámetro de la circunferencia circunscrita a un triángulo rectángulo es 18. Calcular la suma de los catetos. CON RESOLUCION
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Dado un número natural R, ¿existe un triángulo rectángulo pitagórico primitivo (es decir, de lados a,b y c enteros, con mcd(a,b,c)=1) cuya circunferencia inscrita tenga radio R?
Problema propuesto por Floro Damián.
Solución:
Si el triángulo tiene lados a (hipotenusa), b y c, el área es
A=bc2.
Por otra parte, el área del triángulo también es el producto del radio de la circunferencia inscrita por el semiperímetro:
A=R(a+b+c)2.
Por tanto, se tiene que
R=bca+b+c.
Los lados a,b,c forman una terna pitagórica primitiva si y sólo si existen dos enteros m,n tales que a=m2+n2, b=m2−n2 y c=2mn, con m>n y m y n primos entre sí. Sustituyendo en la expresión del radio y simplificando, resulta
R=n(m−n).
Esta igualdad puede conseguirse siempre tomando m=R+1 y n=R.
Por tanto, dado un radio R entero, los valores
a=2R2+2R+1,b=2R+1,c=2R2+2R
dan una terna pitagórica primitiva cuyo triángulo asociado tiene una circunferencia inscrita de radio R.
Explicación paso a paso: