Question

la suma de tres números positivos que forman una progresión aritmética es 18 si a este número se le suma 2 4 y 11 respectivamente los nuevos números forman una progresión geométrica hallar los números iniciales​

Answer 1

Los números iniciales que forman una progresión aritmética son 3, 6 y 9 cuya diferencia es 3

Sea "a" el primer número de la progresión y sea "d" la diferencia de la progresión.

a1 = a

a2 = a + d

a3 = a + 2d

La suma de los tres números es 18:

a + a + d + a + 2d = 18

3a + 3d = 18

3*(a + d) = 18

a + d = 18/3 = 6

a2 = a + d = 6

Por lo tanto:

a1 = 6 - d

a2 = 6

a3 = 6 + d

Ahora si le sumamos 2, 4 y 11 respectivamente se obtiene una progresión aritmética: llamemos "r" a la razón.

a1' = 6 - d + 2 = 8 - d

a2' = 6 + 4 = 10 = (8 - d)*r

a3' = 6 + d + 11 = 17 + d =  (8 - d)*r²

Dividiendo a3' entre a2'

(17 + d)/10 = r

Sustituimos en a2'

10 = (8 - d)*((17 + d)/10)

100 = (8 - d)*(17 + d)

100 = 136 + 8d - 17d - d²

100 - 136 = -9d - d²

d² + 9 d - 36 = 0

Si buscamos las raíces:

d = -12 ó d = 3

Si d es - 12 entonces a3 = -6 y no seria positivo, por lo tanto d ≠ -12, lo que implica que d = 3

a1 = 6 - 3 = 3

a2 = 6

a3 = 6 + 3 = 9

Y la progresión aritmética es:

a1' = 3 + 2 = 5

a2' = 6 + 4 = 10

a3' = 9 + 11 = 20