La suma de tres números enteros positivos consecutivos es una potencia de 3
La suma de los siguientes tres números enteros positivosconsecutivos es un múltiplo de 7.
Determinar el menor valor que puede tener la suma de los seis números consecutivos considerados.
Respuestas a la pregunta
Segunda pregunta: 6 + 7 + 8 = 21 ya que 21 es multiplo de 7
Tercera pregunta: 2 + 3+ 4 + 6+ 7 +8 = 30
Respuesta: 495
Explicación paso a paso:
Como nos dicen que la suma de tres enteros positivos consecutivos es una potencia de 3 es decir 3ˣ vamos a elegir convenientemente los tres números: n-1, n, n+1
Su suma entonces será n-1+n+n+1 = 3·n = 3ˣ
entonces n= 3ˣ/3 = 3ˣ⁻¹ n será potencia de 3
Y los siguientes 3 números enteros consecutivos a estos serán:
n+2, n+3, n+4
Su suma entonces será n+2+n+3+n+4 = 3·n + 9
Nos dicen que la suma es múltiplo de 7 entonces 3·n + 9 = 0(mod7)
Tenemos que hallar el primer n que cumple estas 2 condiciones
Damos valores a x
x= 1, n= 3¹⁻¹ = 3° = 1 → 3·1+9 = 12 = 5(mod7) ≠ 0(mod7)
x= 2, n= 3²⁻¹ = 3¹ = 3 → 3·3+9 = 18 = 4(mod7) ≠ 0(mod7)
x= 3, n= 3³⁻¹ = 3² = 9 → 3·9+9 = 36 = 1(mod7) ≠ 0(mod7)
x= 4, n= 3⁴⁻¹ = 3³ = 27 → 3·27+9 = 90 = 6(mod7) ≠ 0(mod7)
x= 5, n= 3⁵⁻¹ = 3⁴ = 81 → 3·81+9 = 252 = 0(mod7) es múltiplo de 7
Verificación
Entonces para n=81 se cumplen las dos condiciones pedidas
n-1+n+n+1 = 81-1+81+81+1 = 3·81 = 243 = 3⁵ es una potencia de 3
n+2+n+3+n+4= 81+2+81+3+81+4= 3·81+9= 252= 0(mod7) es múltiplo de 7
Los números son 80,81,82,83,84,85
Y la suma de estos 6 números consecutivos es 243+252 = 495
Respuesta: 495