Question

La suma de tres números enteros positivos consecutivos es una potencia de 3

La suma de los siguientes tres números enteros positivosconsecutivos es un múltiplo de 7.

Determinar el menor valor que puede tener la suma de los seis números consecutivos considerados.

Answer 1

Respuesta:  495

Explicación paso a paso:

Como nos dicen que la suma de tres enteros positivos consecutivos es una potencia de 3 es decir 3ˣ vamos a elegir convenientemente los tres números:  n-1, n, n+1

Su suma entonces será n-1+n+n+1 = 3·n = 3ˣ

entonces n= 3ˣ/3 = 3ˣ⁻¹ entonces n también es una potencia de 3

Y los siguientes 3 números enteros consecutivos a estos serán:

n+2, n+3, n+4

Su suma entonces será n+2+n+3+n+4 = 3·n + 9

Como nos dicen que es múltiplo de 7 entonces 3·n + 9 = 0(mod7)

Tenemos que hallar el primer n que cumple estas 2 condiciones

Damos valores a x

x= 1, n= 3¹⁻¹ = 3° = 1  → 3·1+9 = 12 = 5(mod7) ≠ 0(mod7)

x= 2, n= 3²⁻¹ = 3¹ = 3  → 3·3+9 = 18 = 4(mod7) ≠ 0(mod7)

x= 3, n= 3³⁻¹ = 3² = 9  → 3·9+9 = 36 = 1(mod7) ≠ 0(mod7)

x= 4, n= 3⁴⁻¹ = 3³ = 27 → 3·27+9 = 90 = 6(mod7) ≠ 0(mod7)

x= 5, n= 3⁵⁻¹ = 3⁴ = 81 → 3·81+9 = 252 = 0(mod7) es múltiplo de 7

Verificamos que para n=81 se cumplen las dos condiciones

n-1+n+n+1 = 81-1+81+81+1 = 3·81 = 243 = 3⁵ es una potencia de 3

n+2+n+3+n+4=81+2+81+3+81+4=3·81+9=252 = 0(mod7) es múltiplo de 7

Los números son 80,81,82,83,84,85

Y la suma de estos 6 números consecutivos es 243+252 = 495

$\textit{\textbf{Michael Spymore}}$