Question

La suma de tres números en P.G. es 70. Si
se multiplican los dos extremos por 4 y el
intermedio por 5, los productos están en P.A.
Halla la suma de los cinco primeros términos de
la P.G., si la razón no es un número entero.

Answer 1

Respuesta:

77,5

Explicación paso a paso:

La suma de tres números en Progresión geométrica es 70

a + ar + a.r² = 70

a(1 + r + r²) = 70

Si los extremos se multiplican por 4 y el intermedio por 5, los productos están en progresión aritmética.

4a , 5ar , 4ar²

5ar - 4a = razón y 4ar² - 5ar = razón

Igualamos:

5ar - 4a = 4ar² - 5ar

Simplificamos a:

5r + 5r = 4r² + 4

10r = 4r² + 4

0 = 4r² - 10r + 4

Resolvemos la ecuacion cuadrática:

4r² - 10r + 4 = 0

2r - 1

2r - 4

(2r - 1)(2r - 4) = 0

Primera solución:

2r - 1 = 0

2r = 1

r = 1/2

Segunda solución:

2r - 4 = 0

2r = 4

r = 4/2

r = 2

Hay dos soluciones para r; pero el problema nos indica que la razón no es un número entero

r = 2 y r= 1/2

reemplazamos r = 1/2 en (1)

a(1 + r + r²) 70

a (1 + 1/2 + (1/2)²) = 70

resolvemos:

a (1 + 1/2 + 1/4) = 70

a.(4/4 + 2/4 + 1/4) = 70

a .(7/4)= 70

a = 70.(4)/10

a = 40

los numeros son:

para r = 1/2 y a = 40

a , ar , a.r²

40 , 40(1/2) , 40.(1/2)²

40 , 20 , 40.(1/4)

40 , 20 , 10

40; 20; 10; 5; 2,5

40+20+10+5+2,5 = 77,5

Espero te sirva de ayuda.