Question

la suma de los infinitos terminos de una progresion geometrica es 4 y la suma de sus cubos es 192. determinar el termino de lugar 5

Answer 1

Respuesta:

Buenos días:

La suma de los términos de una P.G., conociendo el primer término y la razón es:

Sn=a₁ / (1-r).

Por tanto:

4=a₁/(1-r)  ==========⇒ a₁=4-4r  (1)

Por otro lado, el término general de una P.G. es:

an=a₁.r^(n-1).

Vamos a calcular los primeros términos, y al lado pondremos sus cubos.

a₁=a₁.=====⇒a₁³=a₁³.

a₂=a₁.r ====⇒a₂²=a₁³.r³

a₃=a₁.r²====⇒a₃³=a₁³.r⁶

Por tanto en la nueva progresión geométrica, donde cada término es el cubo de la primera progresión geométrica, el primer término vale.

a₁=a₁³.

Y la razón la podemos calcular, dividiendo 2 términos consecutivos.

r=a₂/a₃=a₁³.r³/a₁³=r³

Por tanto:

Sn=a₁ / (1-r)

192=a₁³ / (1-r³).    (2)

Con las ecuaciones (1) y (2) vamos a tener un sistema de ecuaciones:

a₁=4-4r

192=a₁³ / (1-r³)

Que lo resolveremos por sustitución:

192=(4-4r)³ / (1-r³).

192-192r³=64-192r+192r²-64r³

128r³+192r²-192r-128=0

Lo simplificamos dividiendo todos los términos por "64".

2r³+3r²-3r-2=0

Resolvemos por Ruffini:

        2        3       -3      -2

1

                 2         5       2

------------------------------------------------

       2         5        2       0

2r³+3r²-3r-2=(r-1).(2r²+5r+2)

Ya sabemos que una de las soluciones es r=1; pero esta solución no nos vale.

ya que [r]<1; Por tanto resolvemos la ecuación de 2º grado.

2r²+5r+2=0

Tenemos 2 soluciones:  

r₁=-2, no nos vale ya que [r]<1.

r₂=-1/2. ====⇒  a1=4-4.(-1/2)=4+2=6.

Sol: an=6.(-1/2)^(n-1)

Explicación paso a paso: