Question

La suma de los cuadrados de dos números es 1224, si el mínimo común múltiplo de ellos es 90. Hallar la suma de dichos números.

Respuesta sin explicación: 48​

Answer 1

La suma de los números es igual a 48

Tenemos que la suma de los cuadrados de dos números es 1124, entonces si los números son:

a y b, tenemos que: a² + b² = 1224, entonces como el mcm es 90

Si uno es cero entonces el otro sería √1224 = 34,98, como son naturales entonces el máximo valor posible para alguno es 34

Usando la fórmula del binomio al cuadrado, tenemos que:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)² = (a² + b²) + 2ab

(a + b)² = 1224 + 2ab

a + b = √(1224 + 2ab)

Ahora a y b son enteros naturales menores que 34 (pues 90 es su mútliplo), luego tenemos que 1224 + 2ab debe ser un cuadrado perfecto, como el producto de a y b es múltiplo de a y b entonces es múltiplo de 90, por lo tanto 1224 + 2ab es mayor a 1404, y menor a 3536,

Que puede ser´: 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, 2601, 2704, 2809, 2916, 3025, 3136, 3249, 3364, 3481,

Además como 1224 es múltiplo de 18 y 2ab es múltiplo de 90, entonces ambas son múltiplos de 18 y la suma es múltiplo de 18, luego los cuadrados perfecto en este intervalo múltiplo de 18 tomamos los que son multiplos de 18 son:

1296, 1764, 2304, 2916

1224 + 2ab, es igual a uno de estos números, veamos cada caso:

1224 + 2ab = 1296

2ab = 1296 - 1224

2ab = 72

ab = 72/2

ab = 36. Pero ab debe ser múltiplo de 90, entonces no es.

1224 + 2ab = 1764

2ab = 1764 - 1224

2ab = 540

ab = 540/2

ab = 270

Este si es múltiplo de 90, veamos otros casos:

1224 + 2ab = 2304

2ab = 2304 - 1224

2ab = 1080

ab = 1080/2

ab = 540

Este si es múltiplo de 90, veamos otros casos:

1224 + 2ab = 2916

2ab = 2916 - 1224

2ab = 1692

ab = 1692/2

ab =846, Pero ab debe ser múltiplo de 90, entonces no es.

Entonces hemos reducido a dos casos:

ab = 270

ab = 540

Donde 90 = 2*3²*5,

Recordemos que a y b son menores o igual que 34 entonces si es 270 = 2*3³*5, entonces uno es múltiplo 3 y el otro de 9, pero ninguna múltiplo de 27, pueden ser 18 y 15, o 30 y 9, pero la suma de los cuadrados no es 1224

Si es 540 = 2²*3³*5, entonces ambos son múltiplos de 2 uno es múltiplo 3 y el otro de 9, pero ninguna múltiplo de 27, pueden ser solo  18 y 30, aqui su ocurre que la suma de los cuadrados es 1224, ab= 540

(a + b) = √(1224 + 2*540)

a + b = √2304

a + b = 48