Question

la suma de los 7 primeros terminos de una P.G. creciente es 2186, y la razon del septimo termino sobre el 2do termino es 243. Halla el termino de lugar 4.

Answer 1

Para empezar los datos que nos dan son :

S₇ = 2186 = ( a₇ r - a₁ )/(r-1)     faltaría calcular "r" ; "a₇"  y "a₁"

Primero r

Sabemos que la razón entre dos términos es:

an = ax r ⁿ⁻ˣ entonces   an/ax = r ⁿ⁻ˣ   para a₇ y a₂

a₇/a₂ = r ⁷⁻² = r ⁵ = 243 ( segun los datos )   despejamos r

r = ⁵√ 243 = 3

Para encontrar a₇  sabemos que  r = an / an-1   construimos una secuencia  empezando con a₂/a₁ = 3
a₂ = 3 a₁
a₃ = 3 a₂ = 3 ( 3 a₁ ) = 3² a₁
a₄ = 3 a₃ = 3 ( 3 ( a₁ ))  = 3³ a₁ 
entonces
.
.
.
a₇ = 3⁶ a₁ = 729 a₁

Sustituimos en S₇

S₇ =( a₇ r - a₁ ) / ( r - 1 ) = [( 729 a₁( 3 )  - a₁ )]/ (3 - 1) = 2186

(2187 a₁ - a₁) / 2 = 2186
2186 a₁/ 2  = 2186
2186 a₁ = ( 2186)(2)
2186 a₁ = 4372
a₁ = 4372/2186
a₁ = 2    este es el primer término de la sucesión

Ya podemos calcular el cuarto término

a₄ = a₁ r ⁴⁻¹ = 2 ( 3³ ) = 2 ( 27 ) = 54
a₄ = 54