Question

La suma de las longitudes de los radios de dos círculos es 17 cm., y la suma de sus
áreas equivale a la de un círculo de radio 13 cm. Calcula cuánto valen los radios de
dichos círculos.

RESOLUCIÓN: PASO A PASO

Answer 1

Respuesta:

12 cm y 5 cm

Explicación paso a paso:

Sabemos que 17 será igual a la suma de dos radios desconocidos, a los que llamaremos x e y: 17 = x+y

También sabemos que la fórmula para sacar el área de un círculo es π×r² donde r es el radio del círculo.

Nos dicen que la suma de las áreas de los círculos desconocidos es igual a la de un círculo de radio 13. Lo escribimos von notación matemática (utilizando la fórmula del área del círculo) y nos queda; π×13² = π×x² + π×y²

sacando factor común podemos dejar la parte de la "drcha" como π×(x²+y²)

y dividiendo ambos "lados" entre π podemos "quitar" π y así no tendremos que operar con él, de modo que la segunda igualdad quedaría;

13² = x²+y²

Volvemos a nuestra primera igualdad y formamos un sistema con esta y la última igualdad (las dos ecuaciones que hemos sacado con los datos del enunciado), recordamos cuáles son:

(Primera) 17 = x+y

(Segunda) 13²= x²+y²

Ahora podemos resolverlo de varias formas, una de ellas consiste en sustituir una de las incógnitas (por ejemplo la x de "abajo") por lo que sabemos que es igual la x despejando "arriba". Es decir:

despejamos la x de la primera ecuación restando en ambos lados la y, queda; x = 17-y

sustitimos la x de la segunda ecuación por (17-y) ya que sabemos que x = 17-y Ahora quedará;

13² = (17-y)²+y²

resolvemos para "sacar" la y, hay que saberse la identidad notable del cuadrado de una suma (o resta en este caso);

13² = 17²+y²-2×17y+y²

0 = 2y²-2×17y+17²-13²

0 = 2y²-34y+289-169

0 = 2y²-34y+120 (simplifico dividiendo entre 2)

0 = y²-17y+60 (hay que utilizar fórmula 2⁰ grado)

$y = \frac{17 + - \sqrt{ {17}^{2} - 4 \times 60 } }{2}$

seguimos resolviendo,

$y = \frac{17 + - \sqrt{49} }{2}$

$y = \frac{17 + - 7}{2}$

quedan dos soluciones para la y (según sumemos o restemos en el numerador):

por un lado;

$y = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12$

y por otro;

$y = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Para cada "y" habrá una "x", solo queda sustituir las soluciones que hemos obtenido de y en alguna de las ecuaciones iniciales para sacar sus correspondientes "x". Lo más sencillo será utilizar la primera ecuación 17 = x+y para sustituir la "y";

Si sustituimos con y = 12 entonces x = 17-12 Es decir, x = 5 para y = 12

Si sustituimos con y = 5 entonces x = 17-5 Es decir, x = 12 para y = 5

Nos damos cuenta de que las soluciones son las mismas. Como no nos indican cuántas soluciones hay sino cuáles son, el resultado final será que un círculo tendrá de radio 12 cm y el otro 5 cm.