Question

La suma de dos números positivos es 20. Hallar los números si (a) su producto es el máximo (b) si la suma de sus cuadrados es minima, (c) el producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro es máximo.Ayudaa!!

Answer 1

Respuesta: 

Para realizar estos ejercicios aplicaremos la teoría de optimización. 

1- Planteamos las condiciones. 

a) x+y = 20  --------> y = 20-x
b) f(x) = x·y ---------> f(x) = x·(20-x) 

Derivamos a f(x) e igualamos a cero. 

                                              f'(x) = 20-2x = 0   ∴   x =10

                                                       x = 10 ∴ y = 10


2- Planteamos condiciones: 

a) x+y=20  ---------> y = 20-x
b) f(x) = x² + y² ----------f(x) = x² + (20-x)²

Derivamos f(x) e igualamos a cero. 

                                                   f(x) = 2x² -40x + 400

                                                f'(x) = 4x-40 = 0 ∴ x = 10

                                                        x = 10 ∴ y = 10

3- Planteamos condiciones: 

a) x+y=20 --------------> y = 20-x
b) f(x) = x³·y² -------------> f(x) = x³·(20-x)²

Derviamos a f(x) e igualamos a cero.

                              f(x) = x³·(400-40x+x²)  ∴  f(x) = x⁵-40x⁴+400x³

                                            f'(x) = 5x⁴ - 160x³ + 1200x²

                                        f'(x) = x²·(5x² - 160x + 1200) = 0

                                             x₁,₂ = 0 , x₃ = 20, x₄= 12

El valor que debemos escoger para este caso es x₃=12, entonces y = 8.

Los valores máximos y mínimos se pueden verificar con la segunda derivada. 

Answer 2

Respuesta:

 f(x) = x³·(400-40x+x²)  ∴  f(x) = x⁵-40x⁴+400x³

                                           f'(x) = 5x⁴ - 160x³ + 1200x²

                                       f'(x) = x²·(5x² - 160x + 1200) = 0

                                            x₁,₂ = 0 , x₃ = 20, x₄= 12

Explicación paso a paso: