Question

La sucesión creciente 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, 27, 28, 30, 31, ... consiste de los enteros positivos que son potencia de 3 o suma de distintas potencias de 3.

¿Cuál es el número que está en el lugar 100?

1) 729

2) 810

3) 917

4) 981

Answer 1

Vamos a escribir la secuencia mostranto las potencias de 3.

Término          número
--------------------------------
1                      3^0
-------------------------------
2                     3^1
3                     3^1 + 3^0
--------------------------------
4                     3^2
5                     3^2+3^0
6                     3^2 + 3^1
7                     3^2 + 3^1 + 3^0
----------------------------------------
8                     3^3
9                     3^3 + 3^0
10                   3^3 + 3^1
11                   3^3+ 3^1 + 3^0
12                   3^3 + 3^2
13                   3^3 + 3^2 + 3^0
14                   3^3 + 3^2 + 3^1
15                   3^3 + 3^2 + 3^1 + 3^0
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Puedes darte cuenta que cada vez que se duplica el número de término, se comienza con una nueva potencia:

1                     3^0
2                     3^1
4                     3^2
8                     3^3

Por tanto, el término 16 es 3^4, el término 32 es 3^5, el término 64 es 3^6 y el término 128 es 3^7.

El término que buscas, é término 100, será 3^6 más otras potencias de 3.

Combinando potencias 3^0, 3^1, 3^2, 3^3, y 3^4, al llegar a 3^6 + 3^5 agregarás 32  términos adicionales a la secuencia, por lo tanto llegas el término 64 + 32 = 96.

A partir de allí,

Número de término     término
96                                3^6 + 3^5
97                                3^6 + 3^5 + 3^0
98                                3^6 + 3^5 + 3^1
99                                3^6 + 3^5 + 3^1 + 3^0
100                              3^6 + 3^5 + 3^2

Y ya has llegado al término 100, el cual es

3^6 + 3^5 + 3^2 = 729 + 243 + 9 = 981.

Respuesta: 981.