Question

La solución del problema de valor inicial y^''-3y^'-10y=0, y(0)=1,y^' (0)=12 es c_1=2 c_2=-1 PORQUE la solución particular de la ecuación es y=2e^5x-e^(-2x)

Answer 1

Explicación:

Ecuación diferencial: Y’’-3·y’-10·y = 0  con condiciones de borde y(0) = 1, y’(0)=12.

Primer paso es buscar las raíces características,  por ello debemos transformar la ecuación diferencial en un polinomio:

                                                     n²-3n-10= 0   (1)

En la expresión (1) lo que se realizo fue cambiar en la ecuación diferencial  r² = (y)’’ por tanto r = y’ y r⁰ = y. Esto se hace para obtener una ecuación lineal o cuadrática. En este caso cuadrática. 

De la expresión (1)  se buscan las raíces mediante la Resolvente o mediante un tanteo. Se aplicara un tanteo y se le recomendara aplicar la resolvente para verificar el resultado.

El tanteo consiste en buscar dos números que multiplicados den -10 y sumados -3. Estos números serian n₁=5 y n₂ = -2.

Una vez obtenida las raíces se debe verificar si estas raíces son igual o son distintas. Podemos ver que las raíces son distintas, por tanto la solución general viene dada por la siguiente expresión:

                          Y = C1·eⁿ¹ˣ  + C2· eⁿ²ˣ = C1·e⁵ˣ  + C2· e⁻²ˣ                  (3)

Donde: 

C1 y C2 son constantes de la ecuación general

n1 y n2 son las raíces de la ecuación característica. 

Se deben encontrar los valores de las constantes C1 y C2. Estas son constantes que deben colocarse debido a que se está buscando una solución general. Estos valores se conseguirán con los datos y(0)= 1 y y’(0)= 12.

Aplicamos en la expresión (3) el primer dato y(0) = 1: 

                                            1 = C1·e⁵⁽⁰⁾  + C2· e⁻²⁽⁰⁾

Simplificando

                                                              1 = C1 + C2   (4)

Aplicamos en la expresión (3) el segundo dato Y’(0)=12, para ello derivamos la expresión 3: 

                                                   Y’ = (C1·e⁵ˣ )' + (C2· e⁻²ˣ )'

                                                   Y’= 5·C1·e⁵ˣ -2· C2· e⁻²ˣ 

                                                  12 = 5·C1·e⁵⁽⁰ ⁾-2· C2· e⁻²⁽⁰⁾ 

Simplificando:

                                                            12 = 5C1-2C2   (5)

Usando el método de sustitución entre 4 y 5 para obtener los valores de C1 y C2, obtenemos que : C1 = 2 y C2= -1

Sustituimos los valores de C1 y C2 en la ecuación 3. 

Finalmente obtenemos :  y(x) = 2·e⁵ˣ  - e⁻²ˣ  

Nota: La expresión (3): Y = C1·eⁿ¹ˣ  + C2· eⁿ²ˣ , es una expresión que ya esta demostrada para la resolución de ecuaciones diferenciales cuyas raíces características son distintas, tal fue este caso.